Déterminer l'expression d'une suite définie par récurrence et calculer sa limite


  • A

    Bonjour à tous, j'ai un exercice à faire en tant que DM mais je ne parviens pas à le terminer, le voici :

    La suite UnU_nUn est définie par U0U_0U0 et U1U_1U1 et par la relation de récurrence 2Un+22U_{n+2}2Un+2 - 3Un+13U_{n+1}3Un+1 + UnU_nUn = 0 où n est un nombre entier naturel.
    On définit :
    VnV_nVn = Un+1U_{n+1}Un+1 - UnU_nUn et SnS_nSn = V0V_0V0 + V1V_1V1 + ... + Vn−1V_{n-1}Vn1
    aDéterminer une relation de récurrence entre Vn+1V_{n+1}Vn+1 et VnV_nVn et en déduire l'expression de VnV_nVn en fonction de n, U0U_0U0 et U1U_1U1
    J'ai fait ici Vn+1V_{n+1}Vn+1 - VnV_nVn et j'ai obtenu Vn+1V_{n+1}Vn+1 - VnV_nVn = Un+2U_{n+2}Un+2 - 2Un+12U_{n+1}2Un+1 + UnU_nUn et je pensais exprimer Un+2U_{n+2}Un+2 en fonction de Un+1U_{n+1}Un+1 et UnU_nUn mais je ne sais comment faire 😕

    bCalculer SnS_nSn de deux façons différentes et en déduire l'expression de UnU_nUn en fonction de n, U0U_0U0 et U1U_1U1
    Je n'y suis pas arrivé

    cCalculer la limite de UnU_nUn en fonction de U0U_0U0 et U1U_1U1
    Je n'est pas pue la faire ducoup

    Voila je suis vraiment bloqué, si quelqu'un serais m'aidé se serait vraiment gentil, merci beaucoup !


  • A

    J'ai trouvé pour la question
    1que
    Vn+1 - Vn = (-Un+1 + Un) / 2 est ce que c'est ca s'il vous plait? 😕


  • N
    Modérateurs

    Bonjour Alysée,

    Vn+1V_{n+1}Vn+1 = Un+2U_{n+2}Un+2 - Un+1U_{n+1}Un+1
    VnV_nVn = Un+1U_{n+1}Un+1 - UnU_nUn
    Calcule
    2Vn+12V_{n+1}2Vn+1 - VnV_nVn = ....
    puis tu en déduis la nature de la suite VnV_nVn puis la relation de récurrence.


  • A

    Bonjour Noemi, merci beaucoup pour ta réponse !
    J'ai donc trouver que
    2Vn+12V_{n+1}2Vn+1 - VnV_nVn = 2Un+12U_{n+1}2Un+1 - 3Un+13U_{n+1}3Un+1 - UnU_nUn
    Il y a juste ça à faire pour la question
    1?
    Merci encore 😉


  • N
    Modérateurs

    2Vn+12V_{n+1}2Vn+1 - VnV_nVn = 2Un+22U_{n+2}2Un+2 - 3Un+13U_{n+1}3Un+1 - UnU_nUn= 0
    Donc Vn+1V_{n+1}Vn+1 = ......
    Vn suite ......


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