Suite avec récurrence

Bonjour,
J'ai 56 ans et je reprends des études. Je dois acquérir le niveau TS! J'étudie par moi-même avec différents livres et cours gratuits Internet, mais c'est difficile!
Concernant l'exercice suivant, je n'arrive pas à réaliser l'hérédité:

On considère la suite (Un), et pour tout n∈N :
U0=1
Un+1 = (1/3)*Un + n-2

Démontrer que pour tout n∈N, Un= (25/4)*(1/3)^n + (3/2)*n - (21/4).

Voici ce que j'ai fait:

Utilisons le raisonnement par récurrence, puisque la propriété dépend d'un entier naturel n.
Initialisation :
uo= (25/4)*1 - (21/4) =1
uo=1
La propriété est vraie au rang 0, il y a donc initialisation.

Hérédité :
En utilisant l'hypothèse de récurrence, supposons que, k étant un entier naturel fixé et k≥uo , la propriété suivante est vraie :
Uk= (25/4)(1/3)^k + (3/2)k – (21/4),
alors la propriété Uk+1= (25/4)(1/3)^k+1 + (3/2)k+1 – (21/4) doit également être vraie.
Démonstration :
Uk+1 = (1/3)Uk + k-2
= (1/3)[ (25/4)(1/3)^k + (3/2)k – (21/4)]+ k – 2
= (1/3)(25/4)(1/3)^k + (1/2)k – (7/4)+ k – 2
= (25/4)(1/3)^(k+1) + (1/2)*k – (7/4)+ 2/2k – 8/4

= (25/4)*(1/3)^(k+1) + (3/2)*k – (15/4)

Je n'arrive pas à trouver la solution...
Je vous remercie d'avance.

Rebonjour,
Je n'arrive toujours pas à trouver la solution, où ai-je fait une erreur?
Merci d'avance

Bonjour seccotine,

Pas d'erreur dans le raisonnement
mais tu dois trouver à la fin (3/2)*(k+1) et non (3/2)*k
donc si tu ajoutes 3/2, Il faut les soustraire
et -15/4 - 3/2= ......

Bonjour Noemi,
Merci pour votre réponse, est-ce donc ceci? Uk+1= (25/4)*(1/3)^(k+1) + (3/2)*k +3/2 – (15/4) - (3/2)
Je n'aurais jamais trouvé!
Merci encore
Cordialement

Oui,
C'est le calcul à écrire.