Demonstration fonction polynôme du second degré
-
LLilouFanDesMaths dernière édition par
Bonjour,
J'ai une demonstration à faire, la consigne est la suivante :
Demontrez la croissance stricte de f sur ]−∞;α]]-\infty ; \alpha ]]−∞;α] si a < 0
Voilà ce que j'ai mis, pourriez vous me dire les erreurs que j'ai éventuellement faites? Mon prof est assez embêtants, il veut des rédactions parfaites, donc si j'ai oublié de mettre des choses, pourriez vous me le signaler?
Soit f une fonction polynôme du second degré de forme canonique a(x−α)2+βa(x-\alpha )^{2}+\betaa(x−α)2+β
Soit c∈]−∞;α]c \in ]-\infty ; \alpha ]c∈]−∞;α].
d∈]−∞;α]d \in ]-\infty ;\alpha ]d∈]−∞;α]
a < 0 et c < d
$\alpha \leq c
<img style="vertical-align:middle;" alt="0\leq c-\alphaLa fonction carré est strictement croissante sur. ] -∞ ; α ] quand a<0
$(c-\alpha )^{2}< (d-\alpha )^{2}$
$a(c-\alpha )^{2}< a(d-\alpha )^{2}$
$a(c-\alpha )^{2}+\beta < a(d-\alpha )^{2}+\beta$
$f(c) < f(d)$
Donc f est strictement croissante sur ] - ∞ ; α ] quand a < 0
Merci de votre reponse
-
Bonsoir LilouFandesMaths,
La démonstration n'est pas correcte.
Quelle est propriété à utiliser pour montrer q'une fonction est croissante ?
-
LLilouFanDesMaths dernière édition par
f strictement croissante sur un intervalle I signifie que :
pour tout reel a et b de I, si a<b alors f(a) < f(b )Je pense?
-
Oui,
tu as pris
Soit c et d ∈ ]-∞;α]
avec c < dalors c - α < d - α
que peut on dire du carré ?
-
LLilouFanDesMaths dernière édition par
Il sera positif...
-
Oui
le carré est positif mais le signe de chaque membre avant d'élever au carré est ...... ?
d'ou l'inégalité ?
-
LLilouFanDesMaths dernière édition par
Le signe est negatif, donc il faudra changer le signe
( c-a) ² > (d-a ) ²
Mais le soucis, c'est qu'après la propriété citée juste avant de fonctionne plus...
-
Tu multiplies ensuite par a et a <0,
donc le sens de l'inégalité .....
-
LLilouFanDesMaths dernière édition par
Change... Ah oui, puisque multiplier ou diviser par un nombre négatif change le signe de l'inégalité...
-
LLilouFanDesMaths dernière édition par
J'ai refait ma démonstration en tenant compte de vos remarques...
Soit une fonction polynôme du second degré de forme canonique f(x) = a(x-α)²+β
Soit c ∈ ] -∞; α] ; d ∈ ] -∞ ; α] ; c < d ; a<0
c < d ≤ α
c-α < d-α ≤0
La fonction carré est strictement décroissante sur ] - ∞ ; α ]
(c-α)² > (d-α)²
a (c-α)² < a (d-α)² puisque a<0
a(c-α)²+β < a(d-α)+β
f(c) < f(d)
Or une fonction f strictement croissante croissante sur un intervalle I signifie que :
pour tout a et b de I, si a<b alors f(a)< f(b)Conclusion : La fonction polynôme du second degré est strictement croissante sur ]-∞; α] quand a<0
-
C'est correct.
-
LLilouFanDesMaths dernière édition par
Super ! Merci beaucoup !!