équation polynomiale de degré 4

Bonjour, bonsoir
Je suis élève de terminale S et je bloque carrément sur un exo depuis le début du week-end ...
Cela concerne un problème avec un polynôme de degré 4, le voici:

P(x) = -x⁴-10x³+519x²+1440x+3600

Je dois tout simplement résoudre

-x⁴-10x³+519x²+1440x+3600 = 0

J'ai commencé par trouver une racine évidente : 20
J'ai ensuite pu mettre (x-20) en facteur, cela donne (après l'identification des coefficients a, b et c) :

Q(x) = (x-20)(-x³-30x²-81x-180)

J'ai bien vérifié avec la table de la calculette, ces deux fonctions sont équivalentes, cependant je ne peux toujours pas résoudre le polynôme initial...

J'ai appris qu'il fallait trouver deux racines évidentes au départ pour factoriser deux fois, malheureusement je n'en ai trouvé qu'une... :frowning2:
J'espère recevoir quelques informations, des pistes ou des réponses à mon problème de votre part, merci d'avance

Bonne soirée.

Bonsoir maxime-el-metal,

Etudie les variations de la fonction en x³.

Bonjour,

maxime-el-meta, une remarque : dans l'ensemble R des réels, une équation du 4ème degré n'a pas forcément 4 solutions (réelles).
Elle en a au plus 4.
C'est dans l'ensemble C des complexes (qui contient R), qu'il y a 4 solutions (distinctes ou confondues, réelles ou non réelles).

Lorsque tu écris " tout simplement résoudre", il faut supprimer le "tout simplement"...tu ne réalises peut-être pas la difficulté...

Vu que l'équation du 3ème degré que tu veux résoudre n'a pas de solution "évidente", pour avoir les 3 solutions exactes (réelles ou non réelles), tu devrais appliquerla méthode de CARDAN (tu trouverais une solution réelle que j'appelle α et deux autres solutions complexes non réelles).
Les solutions (dont la réelle α) ont des écritures très compliquées avec des racines cubiques...

Ce n'est pas vraiment cela que tu peux faire en début de Terminale...et que te demande ton professeur...

Comme te l'a indiqué Noemi, vu que tu travailles dans R, étudie cette fonction du 3ème degré x-> $- x$ ^3 $30x^2$ -81x-180, pour pouvoir prouver l'existence de la solution réelle α .

A la calculette tu peux déterminer une valeur approchée de α

Pour te permettre de vérifier, je te joins la représentation graphique de cette fonction du 3ème degré.
Si tu veux la tracer sur ta calculette, choisis des unités judicieuses, sinon tu ne verras rien...

α est l'abscisse du point d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.

$fichier math$

L'ensemble des solutions réelles de l'équation du 4ème degré proposée sera :{α , 20}

Tu dois trouver, sauf erreur, -27.28 < α < -27,27

Bonne réflexion !