Exercice suites arithmétiques

Bonjour,

Voici l'exercice que mon prof de maths nous as demandé de préparer

On considère la suite (Un) définie par la relation Un+1= (5Un-3)/(Un+1) et Uo= 2 et la suite (Vn) définie la relation Vn= (Un-3)/(Un-1).

À l'aide de votre calculatrice ou d'un tableur, calculer les 5 premiers termes de ces 2 suites puis les rapports V1/Vo, V2/V1, V3/V2, et V4/V3. Quels renseignements pouvez-vous déduire sur la nature de la suite (Vn) ?
Proposez alors une conjecture pour le terme général de cette suite.
Montrer alors qu'on a la relation suivante : Un= (-3+Vn)/(-1+Vn). En déduire en utilisant la première question une conjecture pour le terme général de la suite (Un).
En utilisant un raisonnement par récurrence, valider la conjecture établie dans la question précédente.
On désire montrer maintenant la conjecture émise dans la première question. Pour cela, calculer le rapport Vn+1/Vn et démontrer qu'il est constant.

J'ai commencé par chercher la question une j'ai calculer mes rapports j'en ai déduis que (Vn) est une suite arithmétique. Et pour la suite je bloque totalement.

Si quelqu'un pourrait m'aider ne serai-ce qu'un tout petit peu il me sera d'une grande aide. Merci ![center][/center]

Bonsoir claireftch7,

Indique tes résultats pour les premiers termes.
Suite arithmétique ou géométrique ?

U0= 2, U1= 2,3333 U2= 2,6 U3= 2,7777 U4= 2,8823

(pour (Vn) je me suis rendu compte que je m'étais trompé avec ma calculatrice donc tous les rapports sont faux) En recalculant j'ai trouvé ceci

V0= 3 V1=la calculette m'a affiché :ERROR V2= -1 V3= 0 V4= 0,3333

Vérifie les calculs pour $V_n$
$V_0$ = -1

Je trouve toujours V0= 3
Comment tu trouves V0= -1 ? Je ne comprends pas

Si j'utilise l'expression de $V_n$ avec n = 0
$V_0$ = (2-3)/(2-1) = -1/1 = -1.

Ah mais je dois remplacer Un par 2 parce que U0= 2 ? c'est bien ça ?

Oui

Tu dois trouver $V_1$ =-1/2 et $V_3$ = -1/4
Donc $V_n$ est une suite géométrique de raison 1/2

Alors je trouve
V0= -1
V1= -0,5
V2= -0,25
V3= -0,13
V4= -0,06

Et donc pour les rapports je trouve
V1/V0= 0,5
V2/V1= 0,5
V3/V2= 0,52
V4/V3= 0,46

Vérifie tes calculs pour $V_3$ et $V_4$ .
Utilise la valeur exacte de $U_n$

V3 = -0,11 et V4= -0,05 ?
et du coup V3/V2 = 0,44 et V4/V3= 0,45 ?

Tu dois trouver $V_3$ = -1/8 et $V_4$ = -1/16,

Utilise les valeurs exactes ( la touche fraction sur la calculatrice)