Etudier la monotonie d'une suite et montrer qu'elle est bornée

Bonjour, j'ai un petit problème sur un exercice si vous voulez bien m'aider s'il vous plaît:

Soit a un réel tel que -1<a<0. On considère la suite u définie par u0=a et pour tout entier naturel n, un+1=un²+un.

Etudier la monotonie de la suite u.

Ma réponse:

La suite est croissante car
un+1-un=un².

2)Soit h la fonction définie sur R par h(x)=x2+x. Etudier le sens de variation de h sur R. En déduire que si :
x appartient à ]-1;0[, alors h(x) appartient à ]-1;0[.

Ma réponse:

j'étudie la dérivée de h(x) : h'(x)
h'(x)=2x+1
h'(x)=0 si x -1/2

je fais le tableau de variation:
x: - l'infini -1/2 + l'infini
h'(x): - 0 +
h(x) : (flèche vers le bas) -3/4 (flèche vers le haut)

]-l'infini ; -1/2[U]-1/2 ; +l'infini[

Pour x = -1 ou x=0 on a h(x)=0 de plus on sait que le sommet de la courbe est S=0>-3/4>-1.
Donc pour tout x appartient à ]-1;0[ on a h(x) appartient à ]-1;0[

Montrer que pour tout entier n, on a : -1<un<0.

Ma réponse:

Par récurrence :

Initialisation : -1<a<0 donc -1

Hérédité : supposons que pour tout entier naturel -1<Un<0

alors -1< h(Un)<0 (d'après la question 2))
c'ad -1<Un² + Un <0

donc -1 < Un+1 < 0
Un est héréditaire.
Conclusion : Pour tout entier n appartenant à N on a -1<Un<0

Etudier le comportement à l'infini de la suite u
Un se trouve entre -1 et 0 donc la limite de cette suite est 0
Je ne sais pas si c'est la bonne raison
Merci de votre aide;

Bonjour elevedeseconde,

Précise que Un² >0
Vérifie le calcul pour x = -1/2

D'accord merci, sinon le reste est bien executé ?

Pour le reste, les résultats sont corrects.