Suite par récurence

[Aliyat]

Bonsoir je voudrai de l'aide on me donne comment consigne

Soit x un nombre réel positif ou nul et k un entier strictement supérieur à x. A) Montrer par récurrence sur n que, pour tout entier n supérieur ou égal à k.

k^n /n! $\le$ k^k/k!

B) et d'en déduire que pour tous entier n supérieur ou égal a k

$x^n/n!\le (x/k{)}^n\ast k^k/k!$

J'ai fais la récurrence mais je n'arrive pas a faire la B pouvez vous m'aidez s'il vous plaît

[Noemi]

Bonsoir Aliyat,

Comment procèdes tu pour une démonstration par récurrence ?

Indique tes calculs.

[Aliyat]

Noemi
Bonsoir Aliyat,

Comment procèdes tu pour une démonstration par récurrence ?

Indique tes calculs.

Bonsoir alors j'ai procédé ainsi : notons Pn : $k^n/n!\le k^k/k!$
Initialisation :
Vérifions que Po est vrai

$k^0/0!\le k^k/k!$
$1\le k^k/k!$

P0 est donc vrai

Hérédité:

Montrons si la formule est vraie pour $k\le n$

c'est à dire si $k^n/n!\le k^k/k!$

elle l'est aussi pour Pn+1 :
$(k^{(}n+1))/(n+1)!=(k^n/n!)\ast k/(n+1)$

$k\le n$

$k

[tex]k/(n+1)<1[/tex]

tex*k/(n+1)<k^n/n![/tex]

on a bien tex/(n+1)!<k^n/n! < k^k/k![/tex]

la formule est bien toujours vraie pour [tex]k \leq n[/tex]

C'est bon ?

[Noemi]

C'est correct.

[Aliyat]

Noemi
C'est correct.

Merci. Pour la question B je ne sais pas vraiment comment m'y prendre en revanche dois-je faire appel a un raisonnement par récurrence la aussi ?

[Aliyat]

Noemi
C'est correct.

Merci. Pour la question B je ne sais pas vraiment comment m'y prendre en revanche dois-je faire appel a un raisonnement par récurrence la aussi ?

[Noemi]

Il faut en déduire,
Multiplie l'inégalité par $x^n$.

[Aliyat]

Noemi
Il faut en déduire,
Multiplie l'inégalité par $x^n$.

Pourquoi multiplie t'on par x^n ?

Cela veux dire que je dois resoudre l'inégalité suivante :

$x^n/(n!)\ast x^n\le (x/k{)}^n\ast k^k/k!\ast x^n$

[Noemi]

Multiplie l'inégalité démontrée par récurrence par $x^n$
puis tu divises par $k^n$