Approximation de e : suite



  • Bonjour à tous!

    Je suis en terminale S et je bloque sur la fin de mon DM de mathématiques.

    Voici la question : Déterminer le plus petit entier n0n_0 tel que eue-u_n0_010310^{-3} puis le calculer.

    Sachant que unu_n= 1+1/1! +1/2! +...+ 1/n!

    Dans des questions ultérieures j'ai montré que :

    1+1/1! +1/2! +...+ 1/n! ≤ e ≤ 1+1/1! +1/2! +...+ 1/n! + 1/n!

    0 ≤ e un-u_n ≤ 1/n!

    0 ≤ e u5-u_5 ≤ 1/5! Donc u5u_5 ≤ e "environ inférieur ou égal" à u5u_5 +102+10^{-2}

    Je pense qu'avec ces données je ne suis pas loin du but mais je peine depuis plusieurs jours à trouver une méthode...

    Merci d'avance pour votre aide 🙂


  • Modérateurs

    Bonsoir inesm,

    1/5! = 0,008333 qui n'est pas ≤ 0,001
    donc n0 > 5
    1/6! = ....
    1/7! = 0,000198....
    donc
    ....



  • Bonsoir,
    Je ne comprends pas pourquoi vous partez de 1/5! sachant qu'on nous demande e - uu_n0_0 ≤ 0.001.

    Mais si je suis votre démarche,
    1/6! ≈ 0,0013888 est ≥ 0,001
    Donc n0n_0=6


  • Modérateurs

    Je suis partie de la fin de l'exercice, il est noté :
    "0 ≤ e u5-u_5 ≤ 1/5! Donc u5u_5 ≤ e "environ inférieur ou égal" à u5u_5 +102+10^{-2}"

    Donc pourquoi ce choix de 5,

    6 ne répond pas à la question car 0,001388... > 0,001
    donc
    ....



  • Ah d'accord!

    Donc on a 1/6! >0,001

    u6u_6 = 1+ 1/1! + 1/2! + 1/3! +1/4! +1/5! + 1/6! = 1957/ 720 ≈ 2.71

    e- u6u_6 ≈ 0,000226

    e - u6u_6 ≤ 1/6!

    Je ne sais pas si je m'égard ou si j'avance...


  • Modérateurs

    Non
    n = 6 ne vérifie pas l'inéquation,
    il faut prendre n = 7.



  • Noemi
    Non
    n = 6 ne vérifie pas l'inéquation,
    il faut prendre n = 7.

    Donc u7u_7 = 685/252 ≈ 2,718
    1/7! = 0,00019841

    e- u7u_7 ≈ 0,00002786

    e- u7u_7 ≤ 1/7!

    Donc n0n_0 = 7 tel que e - uu_n0_010310^{-3}



  • Noemi
    Non
    n = 6 ne vérifie pas l'inéquation,
    il faut prendre n = 7.

    Donc u7u_7 = 685/252 ≈ 2,718
    1/7! = 0,00019841

    e- u7u_7 ≈ 0,00002786

    e- u7u_7 ≤ 1/7!

    Donc n0n_0 = 7 tel que e - uu_n0_010310^{-3}


  • Modérateurs

    Tu es sur de la relation :
    0 ≤ e un-u_n ≤ 1/n! ?
    ce n'est pas :
    0 ≤ e un1-u_{n-1} ≤ 1/n! ??



  • Oui j'en suis sure c'est dans l'énoncé! 😕


  • Modérateurs

    Bien
    Et le unu_n :
    unu_n= 1+1/1! +1/2! +...+ 1/n!
    Il est correct ?



  • Oui il est dans l'énoncé également!


  • Modérateurs

    Bien
    donc n = 7.


  • Modérateurs

    Bonjour,

    inesm, en passant, je regarde la question posée :
    Citation
    Déterminer le plus petit entier n0n_0 tel que eUn0e-Un_010310^{-3}puisle calculer.

    Comme te l'a dit Noemi, 7 est la bonne réponse, mais faire les encadrements successifs ne me semble pas être la méthode attendue.

    D'après l'énoncé, ill faut faire le travail en deux temps :
    Trouver la formule à laquelle doit satisfaire n0n_0 PUIS le calculer

    On sait que :
    0eun1n!0\le e-u_n\le\frac{1}{n!}

    On cherche donc n tel que 1n!103\frac{1}{n!}\le 10^{-3}

    Ceci équivaut à n!1103n!\ge \frac{1}{10^{-3}} c'est à dire n!103,n!\ge 10^3, c'est à dire n!1000n!\ge 1000

    n_0$ est donc la plus petite valeur naturelle telle que sa factorielle est supérieure à 1000

    Il reste à calculer n0n_0

    Les factorielles forment une suite croissante.

    1!=..., 2!=...,3!=..., 4!=..., 5!=..., 6!=720, 7!=5040, 8!=..., .........

    D'où n0n_0=...

    A toi de voir inesm, la méthode qui te parait la plus satisfaisante.



  • Bonjour,

    Merci à vous pour votre réponse détaillée, j'ai tout compris avec aisance.

    On a donc 6! < 1000
    7! > 1000
    D'où n0n_0 = 7

    Je pense que c'est effectivement plutôt cette méthode qui est attendue en raison de la question, et du niveau de terminale S.

    Merci à @Noemie également pour sa patience 🙂

    Bonne journée!


  • Modérateurs

    De rien.

    Bonne journée à toi et bon travail !


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