3. Approximation de e : suite

Approximation de e : suite

  • I

    Bonjour à tous!

    Je suis en terminale S et je bloque sur la fin de mon DM de mathématiques.

    Voici la question : Déterminer le plus petit entier n0n_0n0​ tel que e−ue-ue−u_n0_00​ ≤ 10−310^{-3}10−3 puis le calculer.

    Sachant que unu_nun​= 1+1/1! +1/2! +...+ 1/n!

    Dans des questions ultérieures j'ai montré que :

    1+1/1! +1/2! +...+ 1/n! ≤ e ≤ 1+1/1! +1/2! +...+ 1/n! + 1/n!

    0 ≤ e −un-u_n−un​ ≤ 1/n!

    0 ≤ e −u5-u_5−u5​ ≤ 1/5! Donc u5u_5u5​ ≤ e "environ inférieur ou égal" à u5u_5u5​ +10−2+10^{-2}+10−2

    Je pense qu'avec ces données je ne suis pas loin du but mais je peine depuis plusieurs jours à trouver une méthode...

    Merci d'avance pour votre aide 🙂

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    Bonsoir inesm,

    1/5! = 0,008333 qui n'est pas ≤ 0,001
    donc n0 > 5
    1/6! = ....
    1/7! = 0,000198....
    donc
    ....

    I 1 réponse
  • I

    Bonsoir,
    Je ne comprends pas pourquoi vous partez de 1/5! sachant qu'on nous demande e - uuu_n0_00​ ≤ 0.001.

    Mais si je suis votre démarche,
    1/6! ≈ 0,0013888 est ≥ 0,001
    Donc n0n_0n0​=6

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    Je suis partie de la fin de l'exercice, il est noté :
    "0 ≤ e −u5-u_5−u5​ ≤ 1/5! Donc u5u_5u5​ ≤ e "environ inférieur ou égal" à u5u_5u5​ +10−2+10^{-2}+10−2"

    Donc pourquoi ce choix de 5,

    6 ne répond pas à la question car 0,001388... > 0,001
    donc
    ....

    I 1 réponse
  • I

    Ah d'accord!

    Donc on a 1/6! >0,001

    u6u_6u6​ = 1+ 1/1! + 1/2! + 1/3! +1/4! +1/5! + 1/6! = 1957/ 720 ≈ 2.71

    e- u6u_6u6​ ≈ 0,000226

    e - u6u_6u6​ ≤ 1/6!

    Je ne sais pas si je m'égard ou si j'avance...

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    Non
    n = 6 ne vérifie pas l'inéquation,
    il faut prendre n = 7.

    I 1 réponse
  • I

    Noemi
    Non
    n = 6 ne vérifie pas l'inéquation,
    il faut prendre n = 7.

    Donc u7u_7u7​ = 685/252 ≈ 2,718
    1/7! = 0,00019841

    e- u7u_7u7​ ≈ 0,00002786

    e- u7u_7u7​ ≤ 1/7!

    Donc n0n_0n0​ = 7 tel que e - uuu_n0_00​ ≤ 10−310^{-3}10−3

    I 1 réponse
  • I

    Noemi
    Non
    n = 6 ne vérifie pas l'inéquation,
    il faut prendre n = 7.

    Donc u7u_7u7​ = 685/252 ≈ 2,718
    1/7! = 0,00019841

    e- u7u_7u7​ ≈ 0,00002786

    e- u7u_7u7​ ≤ 1/7!

    Donc n0n_0n0​ = 7 tel que e - uuu_n0_00​ ≤ 10−310^{-3}10−3

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    Tu es sur de la relation :
    0 ≤ e −un-u_n−un​ ≤ 1/n! ?
    ce n'est pas :
    0 ≤ e −un−1-u_{n-1}−un−1​ ≤ 1/n! ??

    I 1 réponse
  • I

    Oui j'en suis sure c'est dans l'énoncé! 😕

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    Bien
    Et le unu_nun​ :
    unu_nun​= 1+1/1! +1/2! +...+ 1/n!
    Il est correct ?

    I 1 réponse
  • I

    Oui il est dans l'énoncé également!

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    Bien
    donc n = 7.

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Bonjour,

    inesm, en passant, je regarde la question posée :
    Citation
    Déterminer le plus petit entier n0n_0n0​ tel que e−Un0e-Un_0e−Un0​≤ 10−310^{-3}10−3puisle calculer.

    Comme te l'a dit Noemi, 7 est la bonne réponse, mais faire les encadrements successifs ne me semble pas être la méthode attendue.

    D'après l'énoncé, ill faut faire le travail en deux temps :
    Trouver la formule à laquelle doit satisfaire n0n_0n0​ PUIS le calculer

    On sait que :
    0≤e−un≤1n!0\le e-u_n\le\frac{1}{n!}0≤e−un​≤n!1​

    On cherche donc n tel que 1n!≤10−3\frac{1}{n!}\le 10^{-3}n!1​≤10−3

    Ceci équivaut à n!≥110−3n!\ge \frac{1}{10^{-3}}n!≥10−31​ c'est à dire n!≥103,n!\ge 10^3,n!≥103, c'est à dire n!≥1000n!\ge 1000n!≥1000

    n_0$ est donc la plus petite valeur naturelle telle que sa factorielle est supérieure à 1000

    Il reste à calculer n0n_0n0​

    Les factorielles forment une suite croissante.

    1!=..., 2!=...,3!=..., 4!=..., 5!=..., 6!=720, 7!=5040, 8!=..., .........

    D'où n0n_0n0​=...

    A toi de voir inesm, la méthode qui te parait la plus satisfaisante.

    I 1 réponse
  • I

    Bonjour,

    Merci à vous pour votre réponse détaillée, j'ai tout compris avec aisance.

    On a donc 6! < 1000
    7! > 1000
    D'où n0n_0n0​ = 7

    Je pense que c'est effectivement plutôt cette méthode qui est attendue en raison de la question, et du niveau de terminale S.

    Merci à @Noemie également pour sa patience 🙂

    Bonne journée!

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    De rien.

    Bonne journée à toi et bon travail !

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