Déterminer le reste d'une division euclidienne et congruence
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BBreezy94 dernière édition par Hind
Bonjour à tous, et merci d'avance à ceux qui m'aideront pour ce DM, je tiens à préciser que je n'ai pas tout à fait compris cette notion de congruence, elle me paraît un peu complexe
Voilà l’exercice :-
Conjecturer le reste obtenu dans la division euclidienne de 17^n par 13 en prenant les valeurs de n, et prouver la conjecture grâce aux congruences. En déduire le reste de 17^2016 puis 17^2017 dans la division euclidienne par 13.
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Conjecturer les congruences modulo 11 de 10^n (= les restes dans la division euclidienne par 11 de 10^n ) et prouver cette conjecture
- En remarquant que 707 487 = 7 x 10^5 + 7 x 10^3 + 4 x 10^2 + 8 x 10 + 7 prouver que (707 487) ^2015 est un multiple de 11.
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Bonsoir Breezy94,
Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.
Question 1)
Quels sont les restes possibles ?
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BBreezy94 dernière édition par
- 17 = 1 x 13 + 4..
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BBreezy94 dernière édition par
17 ≡ 4 [13]
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Il n'y a pas un seul reste :
si n = 2
si n = 3,
.....
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BBreezy94 dernière édition par
Si n = 2 :
17217^2172 ≡ 4^2 [13]
On a : 17^2 ≡ 3 [13]
17^2≡ -10 [13]
Ce qui donne 17^2 ≡ -10 [13]
Si n = 3 :
17^3 ≡ 4 ^3 [13]
≡ 64 [13]
≡ 12 [13]
≡-1 [13]
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Pourquoi des restes négatifs ?
si n = 1, 17 ≡ 4 [13]
si n = 2, 17² ≡ 3 [13]
si n = 3, 17³ ≡ 12 [13]
si n = 4, 17417^4174 ≡ 9 [13]
....Tu continues jusqu'a trouver un reste identique à celui de n = 1
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BBreezy94 dernière édition par
si n = 1, 17 ≡ 4 [13]
si n = 2, 17² ≡ 3 [13]
si n = 3, 17³ ≡ 12 [13]
si n = 4, 17^4 ≡ 9 [13]
si n = 5, 17517^5175 ≡ 10 [13]
pour n=6 6 , 17617^6176 ≡ 14 [13]
pour n=7 17717^7177 ≡ 4 [13]
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Une erreur pour n = 6
si n = 1, 17 ≡ 4 [13]
si n = 2, 17² ≡ 3 [13]
si n = 3, 17³ ≡ 12 [13]
si n = 4, 17417^4174 ≡ 9 [13]
si n = 5, 17517^5175 ≡ 10 [13]
pour n=6, 17617^6176 ≡ 1 [13]
pour n=7 17717^7177 ≡ 4 [13]Donc si n = 1+6k, 17n17^n17n≡ 4 [13]
si n = 2+6k, ...
....
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BBreezy94 dernière édition par
Pourquoi n= 1+6k ? ..
si n = 2+6k, 17n17_n17n ≡ 3 [13]
si n = 3+ 6k 17n17^n17n ≡ 12 [13]
...
si n = 7 +6k , 17n17^n17n ≡ 4[13]
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Pour n = 1 et n = 7, on trouve le même reste 4 et 7 = 1+ 6
soit n = 1 + 6k
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BBreezy94 dernière édition par
Ah d'accord et comment en déduire le reste de 17^2016..
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Il faut chercher comment s'écrit 2016
1 + 6k ?
2 + 6k ?soit
2016 = 6k + ....
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BBreezy94 dernière édition par
6k + 2016 ?
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Non
2016 = 335x6 + 6 ou 336 x 6
donc correspond à n = 6 et le reste est .....
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BBreezy94 dernière édition par
1 ?
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Oui.
et pour 2017 ?
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BBreezy94 dernière édition par
2017 = 335x6+7 le reste est 4 ?
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2017 = 336x6 + 1 donc le reste est 4.
Tu appliques le même raisonnement pour la question 2.
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BBreezy94 dernière édition par
On écrit donc 17201717^{2017}172017 ≡ 4 [13] ?
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Oui
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BBreezy94 dernière édition par
La questions 2 est plus complexe je trouve car c'est le diviseur qui a la puissance n .. pour n = 1 : 11 ≡ 1 [101[10^1[101 ]
pour n = 1, 2,3 ect 11 ≡ 11 [10 n^nn ]
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BBreezy94 dernière édition par
Ah non je me suis embrouillé excusez moi, je le fais là
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BBreezy94 dernière édition par
Donc pour n = 1
10110^1101 ≡ 10 [11]
n=2
10210^2102 ≡ 1 [11]
n=3
10310^3103 ≡ 10 [11]
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C'est correct.
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BBreezy94 dernière édition par
"En remarquant que 707 487 = 7 x 10^5 + 7 x 10^3 + 4 x 10^2 + 8 x 10 + 7 prouver que (707 487) ^2015 est un multiple de 11."
je n'y arrive pas
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BBreezy94 dernière édition par
......
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Si la puissance de 10 est impaire, tu remplaces par 10 et si elle est paire tu remplaces par 1
donc 707487 est congru à 7 x 10 + .......
et tu vérifies que le nombre trouvé est un multiple de 11
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BBreezy94 dernière édition par
707487 est congru à 7 x 10 + 10 ?
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Non
7 x 10 + 7 x 10 +4 +8x10 +7 = 22 X10 + 11
= 11 [ ...... ]
donc
....
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BBreezy94 dernière édition par
Je n'y comprends rien
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A partir de :
10110^1101 ≡ 10 [11]
n=2
10210^2102 ≡ 1 [11]
n=3
10310^3103 ≡ 10 [11]
tu dois déduire et démontrer que
si n est pair le reste est 1 et si n est impair le reste est 10,
C'est ce que tu appliques à 707487.
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BBreezy94 dernière édition par
Donc 707 487 ≡ 10 [11] ?
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Non C'est congrue à 0;
J'ai indiqué le résultat à compléter dans un précédent post.
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BBreezy94 dernière édition par
Pouvez- vous répondre concrètement à la question 2 ? j'essayerai de comprendre après la correction, cela fait plus d'une semaine que je suis sur le même exercice et je n'y arrive vraiment pas :frowning2:
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A partir de :
101 ≡ 10 [11]
n=2
102 ≡ 1 [11]
n=3
103 ≡ 10 [11]
tu dois déduire et démontrer que
si n est pair le reste est 1 et si n est impair le reste est 10,
C'est ce que tu appliques à 707487.
7 x 10^5 + 7 x 10^3 + 4 x 10^2 + 8 x 10 + 7 congru à
7 x 10 + 7 x 10 + 4 x 1 + 8 x 10 + 7 soit
7 x 10^5 + 7 x 10^3 + 4 x 10^2 + 8 x 10 + 7
22 x 10 + 11 =
11(2x10+ 1) donc un multiple de 11
donc 707 487 est un multiple de 11Si tu ne factorises pas, tu peux écrire
22 x10 + 11 = 231 = 21 x 11 donc multiple de 11
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BBreezy94 dernière édition par
Et pour (707 487)^2015 ..
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Si 707 487 est un multiple de 11, il s'écrit sous la forme 11 x k et
707487^2015 = 11^2015 x k^2015 donc c'est un multiple de 11
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BBreezy94 dernière édition par
D'accord, et une dernière question.. Pour prouver la conjecture du 2) nous ne devons pas faire comme la question 1) ?..
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Oui,
Tu appliques le même raisonnement