Déterminer coefficients a, b et c fonction polynome

Bonjour tout le monde,

J'ai passé toute la journée sur ce devoir mais je n'y arrive pas

Voici l'énoncé :

Soit f(x)=ax²+bx+c

On a f(0)=10, f(1)=20 et f(-1)=10
Déterminez les coefficients a b et c.

J'ai commencé en me disant que cela revient à avoir des points de coordonnés :
(0;10), (1;20) et (-1;10).

Pour f(0)=10 (0;10), ça donne : a×0²+b×0+c=10 donc c=10

Mais je bloque pour trouver a et b.

Pour a, f(1)=20 on a : a×1²+b×1+10=20 soit a²+b+10=20
Et pour b, f(-1)=10 on a : a×(-1)²+b×(-1)+10=10 soit a²-b+10=10

A partir de là je ne sais plus quoi faire. Je pense qu'il faut faire un système mais j'ai essayé plusieurs méthodes qui n'aboutissent à rien.
Il y a un ancien post qui ressemble au mien mais je n'ai pas compris car il est pas explicit (www.mathforu.com/sujet-19548.html)

Merci pour votre aide.

Bonsoir leo,

Pour f(1) = 20 cela donne a + b + 10 = 20, soit a + b = ....
Pour f(-1) = 10 cela donne a - b + 10 = 10, soit a - b = ....

Il faut ensuite résoudre le système de deux équations à deux inconnues.

Bonsoir Noemi et merci pour la réponse,

Pour f(1) = 20 cela donne a + b + 10 = 20, soit a + b = 10
Pour f(-1) = 10 cela donne a - b + 10 = 10, soit a - b = 0
Je suis passé par là tout à l'heure mais je ne comprend pas pourquoi il n'y a plus le carré du a.

Et pour le système ça peut sembler bête mais je ne sais pas comment m'y prendre et en particulier dans ce cas là.

Je pense qu'il faut faire :

a + b = 10
a - b = 0

b = 10 - a
a = b

Je viens juste de trouver ça, je pense que c'est plutôt juste mais je ne sais pas sous quelle forme mettre tout cela.

J'ai trouvé que a = b = 5 et j'ai vérifié l'équation 5x²+5x+10 à la calculatrice et c'est ok.
Maintenant il faut que je rédige ça (le système) mais je ne sais pas comment.

b = 10 - a
a = b

cela donne
a = 10 - a
a = b
puis
2a = 10
a = b

puis
a = b = 5.

D'accord donc au final j'ai :

Pour f(0)=10 : f(0)=a×0²+b×0+c=10
Donc c = 10

f(1)=20 : a×1²+b×1+10=20 ⇔ a+b+10=20 ⇔ a+b = 10
f(-1)=10 : a×(-1)²+b×(-1)+10=10 ⇔ a-b+10=10 ⇔ a-b = 0

(a + b = 10
(a - b = 0

(b = 10 - a
(a = b

(a = 10 - a
(a = b

(2a = 10
(a = b

a = b = 5

On a donc f(x)= 5x²+5x+10

C'est bien ça ?

C'est correct.

Merci infiniment !

Par contre j'ai toujours pas compris pourquoi le x² de la formule a disparu.

ax²+bx+c

ça fait a×1² soit 1a² donc a².
le carré du a n'est plus là dans l'équation.

a x 1² = a x 1 car 1² = 1
On peut aussi écrire
a x 1² = a x 1 x 1 = a

Ah je pensais que le a était au carré et que c'était a × a × 1 × 1
C'est donc seulement le x qui est au carré en fait.
Merci.

Oui c'est que le x qui est au carré,
il ne faut pas confondre ax² et (ax)²