Résolution de problèmes sur la congruence

[Marg]

Bonjour, voici un exercice sur lequel je bloque et que j'aimerai arriver à comprendre...

Critères usuels de divisibilité
1)
a)justifiez les affirmations suivantes 10 est congru a 1 modulo 9 et pour tout entier naturel n 10n congru a 1 mod 9

b) deduisez en qu'un entier naturel est divisible par 9 ssi la somme de ses chiffres est un multiple de 9.

2. en procedant comme ci dessus prouver le critere suivant: un entier naturel est divisible par 3 ssi la somme de ses chiffres est un multiple de 3.

3. prouvez le critère suivant: un entier naturel est divisible par 5 ssi son dernier chiffre est 0 ou 5.

4. prouvez les critètres suivants: un entier naturel est diviible par 4(resp par 25) ssi le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4 (resp par 25).

5)a) justifier que lorsque n est pair 10n est congru a 1 modulo 11 et lorsque n est impair 10 exposant n est congru a -1 modulo 11.

b) en procedant comme dans la question 1 prouvez le critère suivant un entier naturel est divisible par 11 lorsque la différence entre la somme des chiffres de rang impair et la somme des chiffres de rang pair a partir de la droite est un multiple de 11 et il n'est pas divisible par 11 dans le cas contraire

c) 4792178est il divisible par 11.................

Si quelqu'un peut m'aider merci beaucoup d'avance...

[Noemi]

Bonsoir Marg,

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème
a) 10 = 9x1 + 1 donc 10 congru à 1 modulo 9
...

[Marg]

Cette partie de la question ne m'a pas posé de problème. Pour la suite j'ai plus de mal. Pour la suite de la question 1)a, je suis partie en disant:

On sait que 10^n congru à 1^n modulo 9
or 1^n=1
Donc pour tout entier naturel n, 10^n est congru à 1 modulo 9
(Je ne suis absolument pas sure de moi...)

La question suivante, je ne sais pas du tout comment partir...

[Noemi]

Pour la question 1 b) tu décompose l'entier naturel
par exemple :
abcd = ax10³ + bx10² + cx10 + d
puis tu utilises la congruence

[Marg]

Merci Noemi de ton aide !

Une dernière question :
Avant le b), je dois aussi justifiez que $A=a$n$+a</em>n-1$+...$+a$_0$+a_1$ modulo 9

Comment faire ? Il me semble aussi que cette justification peut m'aider pour comprendre ton raisonnement pour la question b)...

[Noemi]

Tu appliques le même raisonnement que sur l'exemple.