Résoudre des équations dans le plan complexe

Bonjour,
J'aurais besoin de votre aide sur cet exercice.
Soit A(1) et B(2i).
À tout nombre complexe distinct de 2i, On associe le nombre complexe
Z=(z-1)/(z-2i).

Déterminer l'ensemble $C_1$ ) des points M d'affixe z tels que: arg(Z)=(π/2)[2π].
Déterminer l'ensemble $C_2$ ) des points M d'affixe z tels que : |Z|=2.
3.Démontrer que $C_1$ ) et $C_2$ ) ont un unique point commun dont on précisera l'affixe.
Pour 1.
Je sais que Mes(BM,AM)=(π/2)[2π].
Mais je n'arrive pas a conclut.
Merci d'avance !

Bonjour Issanui,

Si l'argument d'un nombre complexe est π/2 quelle est la particularité de ce nombre complexe ?

Si on représente ce nombre complexe dans un repère ?

Si l'argument d'un nombre est π/2 , alors ce nombre est imaginaire pure.
Il appartient a l'axe des ordonnées.

Oui,

Donc la partie réelle est nulle.
Recherche l'écriture de la partie réelle en fonction de x et y puis détermine l'ensemble C1.

$C_1$ ) l'hyperbole d'équation $y=(x-x^2$ )/(x-2).
Mais ce que je n'ai pas compris est que la partie imaginaire doit être positive.

Vérifie les calculs.

Pas de conditions sur la partie imaginaire.

Bonjour,

Seulement une parenthèse car le forum est calme.

Une remarque

issanui, fait attention.

"Z imaginaire pur" n'est pas équivalent à " $arg(z)=π2[2π]arg(z)=\frac{\pi}{2} [2\pi]$ "

"Z imaginaire pur" équivaut à
" $arg(z)=−π2[2π]arg(z)=\frac{\pi}{2} [2\pi]\ ou \ arg(z)=-\frac{\pi}{2} [2\pi]$ "

Alors, lorsque tu auras refait ton calcul comme te l'a indiqué Noemi, tu dois trouver l'équation d'un cercle, mais seulement un demi cercle conviendra à la question.

Pour déterminer ce demi-cercle, tu pourras utiliser la condition $\gt 0$ vu qu'un argument vaut ∏/2 et non -∏/2
(pour le comprendre : dans la plan complexe, place un point d'affixe Z dont un argument est ∏/2 et un autre dont un argument est -∏/2).

Autre remarque : un raccourci possible.

Tu peux éviter les calculs en utilisant un théorème de Collège relatif aux angles droits inscrits.

Rappel du théorème : Tout triangle rectangle est inscrit dans le cercle dont son hypoténuse est le diamètre.
Réciproquement, si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l’un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle et ce diamètre est son hypoténuse.

Vu que $(\vec{bm},\vec{am})=(\vec{mb},\vec{ma})=\frac{\pi}{2}[\2\pi]$ tu peux déduire que l'angle $amb^\widehat{amb}$ est droit donc que M est sur le cercle de diamètre [AB]

Evidemment, comme il s'agit dans ton exercice d'angles orientés, il faudra ensuite trouver le demi cercle correspondant à $(mb⃗,ma⃗)=π2[2π](\vec{mb},\vec{ma})=\frac{\pi}{2} [2\pi]$

Sans calculs, la détermination du demi-cercle ne pourra se faire que par observation graphique...

EN BREF : tout dépend du niveau de rigueur exigé par ton professeur....

S'il est très exigeant, par calculs, résous

$\left{re(e)=0\im(z) \gt 0$

Sinon, prends le raccourci.

Je ferme ici ma parenthèse.

Bon exercice !

Bonjour ,
J'étais absent a cause d'une maladie.
J'espère qu'on peut reprendre.
Donc pour la première question le lieu du point M est le cercle de diamètre [AB] tel que Mes AMB soit direct.

Le point M est sur le demi-cercle de diamètre AB.

Ah oui!
Le demi-cercle de diamètre [AB] ,parce-que pour l'autre demi-cercle Mes AMB sont indirect.
Pour 2)
|Z|=2⇔|z-1|=2|z-2i|⇔AM=2BM
⇔ $A M$ ^2 $4BM^2$
En vecteur
$A M$ ^2 $4BM^2$ =0
⇔(AM-2BM)(AM+2BM)=0
Soit $G_1$ =Bar{(A,1);(B,-2)}⇔ $z_{G1}$ =-1+4i.
Et $G_2$ =Bar{(A,1);(B,2)}⇔ $z_{G2}$ =(1+4i)/3.

Ona:
$3G_1$ M. $G_2$ M=0
⇔ $G_1$ M. $G_2$ M=0
Le lieu du point M est le cercle de diamètre $[G$ _1 $G_2$ ].

Mais comment montrer qu'ils ont un unique point commun.

C'est correct.

Utilise le fait que l'affixe z du point d'intersection à pour image z' = [2;π/2] = .....

Donc je doit résoudre l'équation Z=2i.
(z-1)/(z-2i)=2i⇔z-1=2iz+4⇔(1-2i)z=5
⇔z=5/(1-2i)=5(1+2i)/√5=√5(1+2i)=√5+2√5i
il vient donc que z=√5+2i√5 ce qui est unique.
Est-ce bien comme ça ?

La méthode est correcte.

Mais le calcul est à revoir, pourquoi √5 en dénominateur ?

Oui je me suis trompé z=1+2i.
Merci beaucoup Noemi .Bonne journée !

C'est juste.

Bonne fin de journée.