Fonction - 1ere S

Bonsoir à tous!
J'ai un exercice qui me pose problème, et j'aimerais vérifier mes réponses
Merci d'avance pour votre aide!
voici l'énoncé

Soit la fonction f définie par f(x)=2x-4/x+2 et (C) la courbe représentative de f.

Déterminer en rédigeant l'ensemble de définition Df de f.
Démontrer que f(x)=2- 8/x+2 pour tout x appartenant à Df.
A l'aide de la calculatrice, conjecturer le sens de variation de f sur Df et dresser son tableau de variations.
A l'aide d'encadrements successifs, démonter que f est croissante sur l'intervalle ]-2;+l'infini[
Etudier la position relative de la courbe (C) et de la droite (d) d'équation y=2x-2 sur Df.
Représenter graphiquement dans un même repère (O; vecteur i; vecteur j) la courbe (C) et la droite (d). Vérifier graphiquement les résultats de la question 5.

J'ai trouvé que la question 1 et je bloque pour la suite.

f(x) existe si et seulement si x+2 n'est pas égal à 0.
Donc x ne doit pas être égal à -2.
Df= R/{-2}

Bonsoir maevavb,

Pour la question 2), réduis l'expression au même dénominateur.

C'est a dire?
Je n'ai pas du tout compris...

A partir de l'écriture
f(x) = 2 - 8/(x+2)
f(x) = [2(x+2) - 8]/(x+2)

développe et simplifie le numérateur.

on tombe sur f la fonction de départ

Oui, c'est l'objectif;

Pour la question 3, tu utilises la calculatrice (graphe ou tableau de valeurs) pour conjecturer le sens de variation.

f est croissante sur les intervalles ]-l'infini;-2[ et ]-2;+l'infini[

Oui la fonction est croissante.
Dresse le tableau de variation;

Question 4)
A partir de x1 > x2 > -2
compare f(x1) et f(x2), utilise l'expression de f donnée à la question 2)

x1>x2>-2
f(x1)>f(x2)

2- 8/x1+2>2- 8/x2+2

Et c'est tout?

x1>x2>-2
f(x1)>f(x2)

2- 8/x1+2>2- 8/x2+2

Et c'est tout?

x1>x2>-2
f(x1)>f(x2)

2- 8/x1+2>2- 8/x2+2

Et c'est tout?

Il faut une démonstration

x1 > x2 > -2
Tu compares ensuite x1+2 avec x2 + 2
puis
1/(x1+2) avec 1/(x2+2)
puis
-8/(x1+2) avec -8/(x2+2)
......

alors

x1>x2>-2

x1+2>x2+2

mais après on met (x+2) en dénominateur donc ca change le sens et du coup ca demontre que c'est décroissant non?

1/(x1+2)<1/(x2+2)

-8/(x1+2)>-8/(x2+2)

2- 8/(x1+2)>2- 8/(x2+2)

En mettant on change de sens mais la démonstration n'est pas finie.

L'ensemble et correct.

Il reste à écrire
f(x1) > f(x2)
donc f fonction croissante si x > -2

Noemi

Il reste à écrire
f(x1) > f(x2)
donc f fonction croissante si x > -2

Donc je marque ceci et j'ai terminé la question 4?

Oui,

vérifie la définition de fonction croissante.

Pour la question 5
Etudie le signe de f(x) - y.

Donc

(2x-4)/(x+2)-(2x-2)=0

je mets (2x-2) au même dénominateur, c'est a dire

(2x-2)(x+2)/(x+2) ce qui fait (2x²+2x-4)/(x+2)

(2x-4)/(x+2)-(2x²+2x-4)/(x+2)=0

(2x-4-2x²-2x+4)/(x+2)=0

-2x²/(x+2)=0

C'est correct,

Etudie le signe de cette expression
si x > -2
puis
x < -2

et tu déduis pour chaque cas si la courbe est au dessus ou en dessous de la droite.

je n'ai pas compris ...

je n'ai pas compris ...

x>-2 à l'intervalle ]-l'infini;-2[
x<-2 dans ]-2;+l'infini[

f(x) - y = -2x²/(x+2)

tu cherches le signe de cette expression
Premier cas si x > -2
-2x² <0
x+2 > 0
donc f(x) - y < 0 cela indique que le graphe de la fonction f est au dessous de la droite (d)

Applique le même raisonnement pour
deuxième cas si x < -2
....

-2x²>0 et x+2<0 donc f(x)-y>0 cela indique que le graphe de la fonction f est au dessus de la droite (d)

d'accord mais je ne comprends pas :') :rolling_eyes:

En calculant f(x) - y, tu calcules l'écart entre la courbe et la droite, si cet écart est positif c'est que la courbe est au dessus de la droite,
si l'écart est négatif c'est que la courbe est au dessous de la droite.

Tu as du voir cela en cours.

si je marque

sur ]-l'infini; -2[
f(x)-y>0 <=> f(x)>y donc (C) est au dessus de (d)

sur ]-2;0[ et ]0:+l'infini[
f(x)-y<0 <=> f(x)<y donc (C) en dessous de (d)

Pour x=0
f(x)-y=o <=> f(x)=y donc (C) et (d) sont sécantes

Ca marche si je rédige ainsi?

Ah oui je viens de comprendre merci!

C'est correct mais il faut justifier le sens des inégalités .

Je rectifie pour le
Premier cas si x > -2
-2x² ≤0
x+2 > 0
donc f(x) - y ≤ 0 cela indique que le graphe de la fonction f est au dessous de la droite (d) sauf pour x = 0 qui est un point d'intersection.

maevavb

x1>x2>-2

x1+2>x2+2

mais après on met (x+2) en dénominateur donc ca change le sens et du coup ca demontre que c'est décroissant non?

1/(x1+2)<1/(x2+2)

-8/(x1+2)>-8/(x2+2)

2- 8/(x1+2)>2- 8/(x2+2)

Faut il que je change de sens au niveau de la division?

Oui on change le sens de l'inégalité.