Déterminer la limites d'une fonction avec racine carrée en -∞ et +∞

Bonjour

Soit h la fonction définie sur R par h(x) = x+ $x2+1\sqrt{x^{2}+1}$ . Déterminer la limites de la fonction h en - $−∞-\infty$ et $∞\infty$

Voici ce que j'ai fait :

$x2+1\sqrt{x^{2}+1}$ = $(x2+1)(x2−1)x2−1\frac{(\sqrt{x^{2}+1})(\sqrt{x^{2}-1)}}{\sqrt{x^{2}-1}}$
= ( $x2\sqrt{x^{2}}$ )² -1 / ( $x2\sqrt{x^{2}}$ ) -1 = $(x2−1)x−1\frac{(x^{2}-1)}{x-1}$
= $x(x−1/x)x(1−1/x)\frac{x(x-1/x)}{x(1-1/x)}$ = $x−1/x1−1/x\frac{x-1/x}{1-1/x}$

$lim⁡x→−∞x−1/x\lim_{x\rightarrow -\infty } x-1/x$ = - $∞\infty$
$lim⁡x→−∞1−1/x\lim_{x\rightarrow -\infty } 1-1/x$ = 1
Donc par quotient de limites , $lim⁡x→−∞(x−1/x)(1−1/x)\lim_{x\rightarrow -\infty } \frac{(x-1/x)}{(1-1/x)}$ = -
$∞\infty$

Par somme de limites , $lim⁡x→−∞h(x)\lim_{x\rightarrow -\infty } h(x)$ = - $∞\infty$

par contre quand x tends vers + $∞\infty$ la limite de h est + $∞\infty$

Bonjour,

Je n'ai pas suivi tes calculs lorsque x tend vers -∞, mais c'est à revoir car la limite est 0

Tu dois trouver $lim⁡x→−∞h(x)=0\lim_{x\to -\infty}h(x)=0$

Pour lever l'indétermination, pense à utiliser la quantité conjuguée de $x+x2+1x+\sqrt{x^2+1}$

Pour +∞, c'est direct caril n'y a pas d'indétermination
Lorsque x tend vers +∞, x²+1 tend vers +∞ donc $x2+1\sqrt{x^2+1}$ tend vers +∞, donc h(x) tend vers +∞

$lim⁡x→+∞h(x)=+∞\lim_{x\to +\infty}h(x)=+\infty$

Reposte si besoin.

je n'y arrive pas j'aboutis à une limite de -1 ...

c 'est bon j'ai réussi

J'ai regardé ta première proposition (pour -∞)

Tu semblais avoir confondu $x2−1\sqrt{x^2-1}$ avec $x2−1\sqrt{x^2}-1$

En plus, vu que tu étudiais le cas où x tend vers -∞, x est négatif donc $x2=−x\sqrt{x^2}=-x$ (alors que tu as mis x)

En bref, c'était vraiment inexact .

C'est bien si tu as pu reprendre correctement .

En passant par le conjugué, je suppose que tu as trouvé :

$x+x2+1=−1x−x2+1x+\sqrt{x^2+1}=\frac{-1}{x-\sqrt{x^2+1}}$

En -∞, la limite vaut 0 (avec les théorèmes usuels)

Oui c 'est cela

C'est bien.

A+