Systèmes avec exponentielle et logarithme

Bonjour à tous, et merci d'avance à ceux qui m'aideront pour ce DM
" a) Résoudre le système équation suivant
{ 3x-y = 17
2x+ 3y = 15
En déduire les solutions du système :
{ 3e^x - e^y = 17
2e^x + 3e^y = 15
b) Résoudre le système d'équations suivant :
{ 2x+5y= -1
3x-7y = 13
En déduire les solutions du système :
{ 2 ln x + 5 ln y = -1
3 ln x - 7 ln y = 13 "
Ce que j'ai fais, méthode par substitution
a) { x = 17 - y / 3
2x + 3y = 15
On remplace x dans la deuxième équation :
2(17 - y / 3 ) + 3y = 15
34 - 2y /6 + 3y = 15
34-2y+18y\6 = 15
34+16y\6 = 15
-> produit en croix 34+16y = 15 x 6
34+16y = 108
16y = 74
y = 74\16 = 37\8
On sait que x = 17-y \ 3
on a donc x =( 17-37\8) \ 3
x = 33\8
L'unique solution de ce système est (33\8 ; 37\8 )
Déduisons les solutions du système :
{ 3e^x - e^y = 17
2e^x - 3e^y = 15
j'ai remplacé x et y par leur valeur mais après je suis bloqué
b) j'ai fais la meme chose que pour le a) et je trouve comme couple ( 43\29, -23\29)
et je suis bloqué pour la suite..
Merci de votre aide

Bonjour,

Pistes,

Commence parrevoir la résolution du premier système

$\left{3x-y=17\2x+3y=15\right$

Tu dois trouver x=6 et y=1

Ensuite, pour résoudre :
$\left{3e^x-e^y=17\2e^x+3e^y=15\right$,

tu fais un changement d'inconnues pour pouvoir utiliser les résultats du premier système :

$e^x=x$ et $e^y=y$

Tu obtiens

$\left{3x-y=17\2x+3y=15\right$

d'oùX=6 et Y=1

Il te reste à déterminer x et y tels que :

$e^x=6$ et $e^y=1$

Reposte si besoin.

Bonsoir, merci de votre aide,
Où est mon erreur?, car je ne la trouve j'ai détaillé mon calcul

Il y a une erreur au tout début de ton calcul

3x-y=17 <=> 3x=17+y <=> $x=17+y3x=\frac{17+y}{3}$

Donc, recompte tout...

2(17 + y / 3 ) + 3y = 15
34 + 2y /6 + 3y = 15
34+2y+18y\6 = 15
(34+20y)\6 = 15
-> produit en croix 34+20y = 15 x 6
34+20y = 90
20y =56
Et je trouve..
y = 56\20 = 14\5

Bonjour Breezy94 et mtschoon,

Une erreur dés le début :
2(17 + y )/ 3 + 3y = 15 équivalent à
(34 + 2y) /3 + 3y = 15

Ahh ouiii merci !

e^x = 6 et e^y = 1
donc x = ln6 et y = ln1 = 0
L'unique solution de ce système est ( ln6 , 0 )
Es-ce correct ?

C'est correct.

finalement je trouve comme couple pour le b) : ( 2, -1)
pour
{ 2 ln x + 5 ln y = -1
3 ln x - 7 ln y = 13
j'ai noté lnx = X et lny = Y
et je trouve comme solution ( e^2 , 1\e ) ..

C'est correct.

D'accord merci beaucoup

Oui, tout est bon maintenant comme te l'a dit Noemi.

Bien sûr, 1/e peut rester écrit $e^{-1}$