Probabilité et récurrence

Bonjour.
J'ai un problème avec mon exercice de probabilité pour mon DM.
Cela fais 3 jours que je suis dessus sans jamais en voir le bout. Je vous met l'énoncé.

Laurent et Julien jouent au tennis. Les deux joueurs ont la même chance de gagner la première partie. Par la suite, lorsque Laurent gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la suivante est 0,7. Et s'il il perd une partie la probabilité qu'il perde la suivante 0,8. Dans tout l'exercice, n est un entier naturel non nul. On considère les événements:
Gn : " Laurent gagne la n-ième partie"
Pn : " Laurent perd la n-ième partie"

On pose $p_n$ = $p(G_n$ ) et $q_n$ = p $P_n$ )

Je devais déterminer $p_1$ , $p$ {G1} $G_2$ ) et $p$ {P1} $G_2$ )

$p_1$ = 0,5
$p$ {G1} $G_2$ )= 0,7
$p$ {P1} $G_2$ )=0.2

Ensuite j'ai justifier l'égalité $p_n$ + $q_n$ = 1 qu'on me demandais de faire.

Et pour finir je dois démontrer que pour tout entier naturel n non nul, $p_{n+1}$ = 0, $5_{pn}$ + 0,2.

J'ai commencer a faire une récurrence mais je suis bloquer a la fin.
J'ai fais :

P (n) : " $p_{n+1}$ = 0, $5_{pn}$ + 0,2 "

Initialisation : pour n=1

$P_{n+1}$ = p $G_{n+1}$ )
$P_2$ = p $G_2$ )
$P_2$ = 0,7 × 0,5 + 0,5 × 0,2
$P_2$ = 0,45

0, $5_{pn}$ + 0,2
= 0,5 $_{p1}$ + 0,2
= 0,5 × 0,5 + 0,2
= 0,45

P (1) vraie

Hérédité:
Soit k un entier naturel non nul.
Supposons que P (k) est vrai, i.e " $P_{k+1}$ = 0, $5_{pk}$ + 0,2 "
Montrons que P (k+1) est vrai, i.e " $P_{k+2}$ = 0, $5_{k+1}$ + 0,2 "

A partir de la je suis complètement bloquée car je ne trouve absolument pas la solution. J'avais pensé a ne pas utiliser la récurrence en calculant pn+1 puisque j'ai remarquer que le 0,5 et le 0,2 de l'équation correspondent au probabilité que j'ai calculé précédemment.
Pourriez vous m'aidez s'il vous plais?

Bonjour Cecilia,

Utilise directement la relation :
$P (G$ _{n+1} $P(G_n$ ) x $P G$ n $G</em>{n+1}$ ) $P(P_n$ ) x $P P$ n $G</em>{n+1}$ )

Bonjour Noémi
J'ai essayer de faire comme vous m'avez dis mais je ne comprend pas ce que vous m'avez indiqué .

Si tu utilises la relation cela donne :
$P$ _{n+1} $P_n$ ×0,7 + $1-P_n$ )×0,2
= ....... à terminer