Trouver l'expression d'une suite Un en fonction de n
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BBreezy94 dernière édition par Hind
Bonsoir à tous et merci d'avance à ceux qui m'aideront pour ce dm:
- On considère la suite ( Un) définie sur N par :
u0u_0u0 = 8 et un+1u_{n+1}un+1 = $2\5U_n$ + 3
Démontrer par récurrence aue, pour tout entier naturel n :
UnU_nUn = 3 (2\5) ^n + 5 - Démontrer par récurrence aue pour tout entier n ≥ 1 :
1x2 + 2x3 + ... + n ( n+1) = n(n+1) (n+2) / 2
Ce que j'ai fais : - Soit P(n) la propriété : "∀ n ∈ N , Un = 3 (2\5)^n +5 "
INITIALISATION :
Vérifions que p(0) est vraie, u0u_0u0 = 3 (2\5)^0 +5
u0u_0u0 = 8
Ainsi P(0) est vraie
HEREDITE :
On suppose que P(n) est vraie pour un entier n fixé, montrons que p(n+1) est vraie:
Un+1U_{n+1}Un+1 = $2\5U_n$ + 3
= 2\5 [ 3 (2\5)^ n + 5] + 3
Je suis bloqué pour la suite..
- On considère la suite ( Un) définie sur N par :
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Bonsoir Breezy94,
développe le terme entre crochet puis simplifie l'expression.
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BBreezy94 dernière édition par
2\5 [ (6\5)^n + 5 ] +3
Mon intuition me dit que c'est faux :frowning2:
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Oui c'est faux
2\5 [ 3 (2\5)^ n + 5] + 3 =
3(2/5)n+13(2/5)^{n+1}3(2/5)n+1 + 2/5×5 + 3 =
...... à terminer
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BBreezy94 dernière édition par
Je trouve un+1u_{n+1}un+1= $3(2\5)^{n+1}$ + 5
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C'est correct.
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BBreezy94 dernière édition par
Donc c'est tout ensuite je conclue ?
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Oui
Tu as montré que p(n+1) était vraie
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BBreezy94 dernière édition par
D'accord pour le 2) j'ai fais :
Soit p(n) la propriété 1x2 + 2x3 + ... + n ( n+1) = n(n+1) (n+2) / 2
INITIALISATION :
Vérifions que p(1) est vrai : 1 x 2 = 2 x 3 / 2 = 2
2 = 2 donc p(1) est vrai ...
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BBreezy94 dernière édition par
Pour l’hérédité je suis bloqué
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BBreezy94 dernière édition par
Finalement j'ai fais 1x2 + 2x3 + ... + n ( n+1) + (n+1) (n+2) = n(n+1) (n+2) / 2
(n+1) (n+2) = (n+1) (n+2) [n\3 + 1 ] = (n+1) (n+2) (n+3) \ 3 donc p(n+1) est vraie..
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Tu pars de :
1x2 + 2x3 + ... + n ( n+1) = n(n+1) (n+2) / 3
puis 1x2 + 2x3 + ... + n ( n+1) + (n+1)(n+2)=
n(n+1) (n+2) / 3+(n+1)(n+2) = tu factorises
(n+1)(n+2)(n/3+1) =
(n+1)(n+2)(n+3)/3
tu conclues
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BBreezy94 dernière édition par
Je ne comprends plus
, où est mon erreur ?
PS : Bonne année 2017
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Le résultat est correct.
Bonne Année 2017
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BBreezy94 dernière édition par
Désoler je me suis trompé dans l'énoncé en fait c'est divisé par 3 :
Démontrer par récurrence aue pour tout entier n ≥ 1 :
1x2 + 2x3 + ... + n ( n+1) = n(n+1) (n+2) / 3
Donc au final c'est correct ?
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C'est juste.