Trouver l'expression d'une suite Un en fonction de n

Bonsoir à tous et merci d'avance à ceux qui m'aideront pour ce dm:

On considère la suite ( Un) définie sur N par :
$u_0$ = 8 et $u_{n+1}$ = $2\5U_n$ + 3
Démontrer par récurrence aue, pour tout entier naturel n :
$U_n$ = 3 (2\5) ^n + 5
Démontrer par récurrence aue pour tout entier n ≥ 1 :
1x2 + 2x3 + ... + n ( n+1) = n(n+1) (n+2) / 2
Ce que j'ai fais :
Soit P(n) la propriété : "∀ n ∈ N , Un = 3 (2\5)^n +5 "
INITIALISATION :
Vérifions que p(0) est vraie, $u_0$ = 3 (2\5)^0 +5
$u_0$ = 8
Ainsi P(0) est vraie
HEREDITE :
On suppose que P(n) est vraie pour un entier n fixé, montrons que p(n+1) est vraie:
$U_{n+1}$ = $2\5U_n$ + 3
= 2\5 [ 3 (2\5)^ n + 5] + 3
Je suis bloqué pour la suite..

Bonsoir Breezy94,

développe le terme entre crochet puis simplifie l'expression.

2\5 [ (6\5)^n + 5 ] +3
Mon intuition me dit que c'est faux :frowning2:

Oui c'est faux

2\5 [ 3 (2\5)^ n + 5] + 3 =
$3(2/5)^{n+1}$ + 2/5×5 + 3 =
...... à terminer

Je trouve $u_{n+1}$ = $3(2\5)^{n+1}$ + 5

C'est correct.

Donc c'est tout ensuite je conclue ?

Oui

Tu as montré que p(n+1) était vraie

D'accord pour le 2) j'ai fais :
Soit p(n) la propriété 1x2 + 2x3 + ... + n ( n+1) = n(n+1) (n+2) / 2
INITIALISATION :
Vérifions que p(1) est vrai : 1 x 2 = 2 x 3 / 2 = 2
2 = 2 donc p(1) est vrai ...

Pour l’hérédité je suis bloqué

Finalement j'ai fais 1x2 + 2x3 + ... + n ( n+1) + (n+1) (n+2) = n(n+1) (n+2) / 2
(n+1) (n+2) = (n+1) (n+2) [n\3 + 1 ] = (n+1) (n+2) (n+3) \ 3 donc p(n+1) est vraie..

Tu pars de :
1x2 + 2x3 + ... + n ( n+1) = n(n+1) (n+2) / 3
puis 1x2 + 2x3 + ... + n ( n+1) + (n+1)(n+2)=
n(n+1) (n+2) / 3+(n+1)(n+2) = tu factorises
(n+1)(n+2)(n/3+1) =
(n+1)(n+2)(n+3)/3
tu conclues

Je ne comprends plus , où est mon erreur ?
PS : Bonne année 2017

Le résultat est correct.

Bonne Année 2017

Désoler je me suis trompé dans l'énoncé en fait c'est divisé par 3 :
Démontrer par récurrence aue pour tout entier n ≥ 1 :
1x2 + 2x3 + ... + n ( n+1) = n(n+1) (n+2) / 3
Donc au final c'est correct ?

C'est juste.