Convergence et signe d'une suite

Bonjour,

J'ai un exercice à faire et j'aimerais avoir un peu d'aide s'il vous plait car je n'arrive pas à le faire

Soit u un entier supérieur ou égal à 2. On note fn la fonction définie sur [0;1]par $fn(x)=x^3$ -2nx+1

1a) Étudier les variations de la fonction fn et dresser son tableau de variation complet.

1b) Démontrer que pour tout entier naturel n≥2, l’équation fn(x)=0 admet une unique solution alpha n dans [0;1], à placer dans le tableau de variations de fn.

2a) Calculer fn(1/n), déterminer son signe, puis placer fn(1/n) et 1/n dans le tableau

2b) De même, calculer fn(1/2n), déterminer son signe, puis placer fn(1/2n) dans le tableau

2c) En déduire que la suite (alpha n) est convergente et préciser sa limite.

J'ai commencé la 1a) mais je ne sais si pour l'instant c'est juste:
fn'(x)=3x²-2n
Δ=(0)²-43(2n)
=-12*2n

Mercii

Bonjour elena_a,

il manque le - devant 2n pour le calcul de delta.

Cherche les deux racines et dresse le tableau de variation.

x1=√-12*(-2n)/6 et x2=(-√12*(-2n))/6

Est-ce juste ?

Simplifie les expressions.
Il manque un - dans x2.

x1=√-3*(-2n)/3 et x2=√3*(-2n)/6

Vérifie les calculs et simplifie.
$x_1$ = √(6n)/3
$x_2$ = ....

x2=√(-6n)/3 ?

Non,

x2=(-√-12*(-2n))/6
= -√(6n)/3

dresse le tableau de variations.

(Remarque : j'ai supposé que le u dans "soit u un entier ...... "correspondait a soit n un entier supérieur ou égal à 2)

-∞ x2 x1 +∞

Ensuite pour les images je remplace les x de la fonctin par x1 et x2 mais il restera toujours le n ?

oui,

Tu exprimes les images en fonction de n.

Pour f(x2)=2.08n et f(x1)=-0.09n
Pour la question 1b) je n'ai pas bien compris le n≥2

C'est faux,

Indique tes calculs.

Pour la question 1b, il faut utiliser le tableau de variations.

f(x2)=((-√ $6n)/3)^3$ -2n*(-√6n)/3)+1

f(x1)=((√ $6n)/3)^3$ -2n*(√6n)/3)+1

Développe et simplifie.

J'ai refait le calcul mais je trouve le même resulat..

Un exemple :
f(x2)=((-√ $6n)/3)^3$ -2n*(-√6n)/3)+1
= -6n√6n/27 +2n√6n/3 + 1
= 12n√6n/27 + 1

Calcule f(x1)

=6n√6n/27+2n√6n/3+1
=24n√6n/27+1

Est-ce juste ?

Une erreur de signe :
f(x1) = 6n√6n/27 - 2n√6n/3+1
= ....

=-12n√6n/27 + 1

C'est juste.

Mercii.

Pour la 1b) on dit qu'il y a une solution dans l'intervalle [x1; x2] ?

D'après le tableau de variations tu dois déduire que la fonction passe une seule fois par 0; C'est bien entre x1 et x2.

Mais entre -∞ et x2 aussi non ?

Enfaite je me suis trompée, elle ne passe qu'une seule fois

Tu fais l'étude sur l'intervalle [0 ; 1].

D'accord merci bcp