Déterminer les parties imaginaires et réelles d'un nombre complexe

Bonjour, je bloque sur cet exercice pourriez vous me donner quelques pistes merci,

z'=(z+2i)/(1-iz)

A) quelles sont les parties imaginaires et réelle de z'

B) quel est l'ensemble des points m d'affixe z afin que z' soit un réel et z' soit imaginaire pur

Je bloque à la A, dois-je multiplier par le conjugué au dénominateur et au numérateur ?

Bonsoir,

Piste,

Tu d'abord, tu poses z=x+iy avec x et y réels

$z′=x+iy+2i1−i(x+iy)=x+i(y+2)1−ix−i2yz'=\frac{x+iy+2i}{1-i(x+iy)}=\frac{x+i(y+2)}{1-ix-i^2y}$

Vu que i²=-1

$z′=x+i(y+2)1−ix+y=x+i(y+2)(1+y)−ixz'=\frac{x+i(y+2)}{1-ix+y}=\frac{x+i(y+2)}{(1+y)-ix}$

Tu multiplies le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, c'est à dire par (1+y)+ix.

Je trouve :

(x+xy+ix²+3iy+iy²+i²yx+2i+2i²x) / (1+2y+y²-(ix²))

ensuite :

= (x+xy+ix²+3iy+iy²+i²yx+2i+2i²x) / (1+2y+y²-(ix²))

= (-x+ix²+3iy+iy²+2i)/(1+2y+y²-(ix²))

En écrivant cette expression de façon à obtenir une forme algébrique complexe, on a :

( (-x) / (x²+(y+1)²) ) + i ( (x²+y²+3y+2) / (x²+(y+1)²) )

En attente de confirmation, merci à vous

C'est bon .

Pour la prochaine question, je suppose que pour z' soit un réel il faut que je démontre que :

( (x²+y²+3y+2) / (x²+(y+1)²) ) = 0

Il faut que je démontre que le numérateur est égale à 0 soit :

(x²+y²+3y+2) = 0

Bonsoir elevedeseconde,

Oui c'est correct :
pour que z' soit réel sa partie imaginaire doit être nulle.

Bonsoir, je trouve comme solutions x=0 et y=-2 (grâce à la calculatrice)

cependant je ne vois pas comment résoudre :
(x²+y²+3y+2) = 0

Il faudra bien sûr penser à la condition : dénominateur non nul.

x=0 et y=-2 est seulement une solution ( point de coordonnées (0,-2)) , mais pas l'ensemble des solutions.

x²+y²+3y+2 = 0 est l'équation d'un cercle.

Essaie de regarder ton cours ( peut-être de Première...)

Il faut transformer l'équation pour la mettre sous la forme

(x-a)²+(y-b)²=R² pour reconnaître le cercle de centre I(a,b) et de rayon R

piste pour faire cela en passant par la forme canonique

$\text{y^2+3y=(y+\frac{3}{2})^2-\frac{9}{4}$

x² + (y + 3/2)² = 1/4 = (1/2)²

L'ensemble des solutions est le cercle de centre (0,-3/2) et de rayon 1/2.

Et pour que z' soit un imaginaire pur il faut que (-x) =0?

Pour z' réel, ta réponse est bonne à une exception près , le cas du dénominateur nul.

x²+(y+1)²)=0 <=> x²=0 et (y+1)²=0 <=> x=0 et y+1=0 <=> x=0 et y=-1

L'ensemble cherché est donc le cercle indiqué privé du point de coordonnées (0,-1)

Pour z'imaginaire pur, effectivement -x=0 (sans oublier la condition sur le dénominateur).

Arrange cela :

-x=0 <=> x=0 : tu tires la conclusion sur les points dont l'abscisse est nulle.

A cet ensemble il faudra ôter le point de coordonnées (0,-1)

Les points m d'affixe z tel que z' soit réel sont le cercle de centre (0,2) et de rayon 1/2, privé du point (0;1)

Les points m d'affixe z tel que z' soit un imaginaire pur sont (0;y) privé du point (0;-1)

C'est bon.

(je suppose que "(0;y)" veut dire "l'axe des imaginaires purs")