Derivation,domaine


  • S

    Bonsoir
    je suis nouvelle et aimerait de l'aide pour comprendre l'intervalle de dérivabilité en partant d'une etude defff
    Jai pris plusieurs exemples et aimerais savoir si dans tous ces cas on applique la formule de dérivation: " accroissement" sur aaa
    a+a+a+ ou a−a-a?

    j'espere que vous avez compris mes mots

    ]a;∞]\left] a\quad ;\quad \infty \right]]a;]
    [a;∞]\left[ a\quad ;\quad \infty \right][a;]

    uuu[a;∞]\left[ a\quad ;\quad \infty \right][a;]

    $\left.u \right] a,......\left \infty \right]$

    merci,d'avance


  • N
    Modérateurs

    Bonjour sophie90,

    Propose un exemple en indiquant l'écriture de l'expression de la fonction f.


  • S

    Bonjour
    voici l'exemple au hasard. $ln\left( \frac { x+1 }{ x-3 } \right) \$

    Jai chercherdfdfdf ]−∞−1[u]3.∞[] -\infty -1[u]3. \infty []1[u]3.[

    merci


  • N
    Modérateurs

    Le domaine de définition est correct.


  • S

    Oui merci Noemi

    Ce dont il est question c est comment trouver l'intervalle de derivation ou derivabilité? voir post 1
    apparement faut chercher dfdfdf puis regarder si c'est dérivable partout? Non?

    Y a des piéges quand l'intervalle et fermé ou ouvert? Non?

    Jai pris cette fct au pif

    Ds tous les cas j aimerais bien comprendre ce machin

    merci


  • mtschoon

    Bonjour,

    Si besoin, en attendant que Noemi soit là, je me permets une petite aide pour répondre à la "véritable" question posée

    Une fonction ne peut être dérivable que pour des valeurs de x pour lesquelles elle est définie.
    Nécessairement,Df' est inclus dans Df
    Dans l’exemple que tu donnes, vu que la fonction ln est dérivable sur son ensemble de définitionDf' est égal à Df

    Vérification en calculant f’(x) :

    Avec les formules usuelles et après transformations,
    $\text{ f'(x)=\frac{-4}{(x-3)(x+1)}$

    Sur]−∞,−1[∪]3,+∞[]-\infty,-1[ \cup ]3,+\infty[],1[]3,+[, f’ est bien définie.

    Deux autres exemples très simples

    1. g(x)=xg(x)=\sqrt{x}g(x)=x

    g est définie sur [0,+∞[[0,+\infty[[0,+[  dg=[0,+∞[\ dg=[0,+\infty[ dg=[0,+[

    mais, g est seulement dérivable sur]0,+∞[]0,+\infty[]0,+[ : dg′=]0,+∞[dg'=]0,+\infty[dg=]0,+[

    Vérification en calculant g’(x) :

    g′(x)=12xg'(x)=\frac{1}{2\sqrt x}g(x)=2x1 (la condition pour g’ est bien x > 0)

    En passant par le nombre dérivé:

    $\lim_{x\to 0\x>0}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=+\infty$ (on peut parler de « tangente verticale »)

    1. h(x)=∣x∣ dh=rh(x)=|x| \ dh=rh(x)=x dh=r

    Pour x >0, h(x)=x donc h’(x)=1 donc h dérivable sur ]0,+∞[

    Pour x <0, h(x)=-x donc h’(x)= -1 donc h dérivable sur ]-∞,0[

    Pour x=0, h(x)=x=-x=0 reste à régler le problème de dérivabilité.

    $\lim_{x\to 0\x \lt 0}\frac{h(x)-h(0)}{x-0}= -1$

    donc nombre dérivé à gauche égal à -1

    lim⁡x→0 x>0h(x)−h(0)x−0=1\lim_{x\to 0\ x \gt 0}\frac {h(x)-h(0)}{x-0}=1limx0 x>0x0h(x)h(0)=1

    donc nombre dérivé à droite égal à 1

    1 non égal à –1 donch non dérivable en 0 ( il y a deux "demi-tangentes" non alignées)

    Dh’=R / {0}

    Regarde cela et tiens nous au courant car ce n'est pas simple d'essayer d'expliquer clairement sur un forum...


  • S

    Bonjour, mtschoon.

    Ah oui c est bien compris dans mon exemple les valeurs 333et −1-11∉\notin/dfdfdf donc non définie par conséquent non continue et ceci implique que fff ne soit pas dérivable pour ces valeurs.

    Je comprends aussi l'astuce de calculer au préalable la dérivéf′f'f et chercher la condition d'existence. En faites ,on déterminedf′df'df et puis on conclue.
    la fonction lnlnln ne pose pas trop de problème c est plutôt x\sqrt xxd après l'exemple.

    je fais alors x+1x−3\sqrt { \frac { x+1 }{ x-3 } }x3x+1 en simplifiant tous les calculs

    dfdfdf=]−∞−1]u]3,∞[]- \infty -1]u]3,\infty[]1]u]3,[

    12.x−3x+1.x−3−(x+1)(x−3)2\frac { 1 }{ 2 } . \frac { \sqrt { x-3 } }{ \sqrt { x+1 } } .\frac { x-3-\left( x+1 \right) }{ { \left( x-3 \right) }^{ 2 } }21.x+1x3.(x3)2x3(x+1)

    −2x−3(x−3)2.x+1=−2(x−3)3/2.x+1=f′\frac { -2\sqrt { x-3 } }{ { \left( x-3 \right) }^{ 2 }.\sqrt { x+1 } } =\frac { -2 }{ { \left( x-3 \right) }^{ 3/2 }.\sqrt { x+1 } }=f'(x3)2.x+12x3=(x3)3/2.x+12=f

    les valeurs qui annulent le dénominateur sont −1-11et 333 non dérivable en ces pts.
    dans ce casdf≠df′df\neq df'df=df?

    je comprends comme ceci ?

    Je vous dis merci.


  • mtschoon

    Tes réponses avec l'exemple que tu donnes sont bonnes

    dfdfdf=]−∞,−1]u]3,+∞[]- \infty, -1]u]3,+\infty[],1]u]3,+[

    df′df'df=]−∞,−1[u]3,+∞[]- \infty ,-1[u]3,+\infty[],1[u]3,+[

    Dans les "règles de l'art" (dans un devoir), c'est mieux de donner l'ensemble de dérivabilité ( en utilisant les propriétés usuelles ) avant de calculer f'(x).

    Par exemple ici, tu pourrais dire que la fonction racine est dérivable lorsque le radicande est strictement positif ( ce qui te donne l'ensemble de dérivabilité ]−∞,−1[u]3,+∞[]- \infty ,-1[u]3,+\infty[],1[u]3,+[ ) et ensuite calculer f'(x) ( le calcul étant valable sur cet ensemble)

    Une remarque qui n'a rien à voir
    Quand tu calcules l'expression de la dérivée en fonction de x, il faut écrire f'(x) et non f'.


  • S

    mtschoon.

    merci beaucoup c est très claire maintenant.


  • mtschoon

    De rien et bonne réflexion !


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