Derivation,domaine

Bonsoir
je suis nouvelle et aimerait de l'aide pour comprendre l'intervalle de dérivabilité en partant d'une etude de $f$
Jai pris plusieurs exemples et aimerais savoir si dans tous ces cas on applique la formule de dérivation: " accroissement" sur $a$
$a +$ ou $a -$ ?

j'espere que vous avez compris mes mots

$]a;∞]\left] a\quad ;\quad \infty \right]$
$[a;∞]\left[ a\quad ;\quad \infty \right]$

$u$ $[a;∞]\left[ a\quad ;\quad \infty \right]$

$\left.u \right] a,......\left \infty \right]$

merci,d'avance

Bonjour sophie90,

Propose un exemple en indiquant l'écriture de l'expression de la fonction f.

Bonjour
voici l'exemple au hasard. $ln\left( \frac { x+1 }{ x-3 } \right) \$

Jai chercher $d f$ $-\infty -1[u]3. \infty [$

merci

Le domaine de définition est correct.

Oui merci Noemi

Ce dont il est question c est comment trouver l'intervalle de derivation ou derivabilité? voir post 1
apparement faut chercher $d f$ puis regarder si c'est dérivable partout? Non?

Y a des piéges quand l'intervalle et fermé ou ouvert? Non?

Jai pris cette fct au pif

Ds tous les cas j aimerais bien comprendre ce machin

merci

Bonjour,

Si besoin, en attendant que Noemi soit là, je me permets une petite aide pour répondre à la "véritable" question posée

Une fonction ne peut être dérivable que pour des valeurs de x pour lesquelles elle est définie.
Nécessairement,Df' est inclus dans Df
Dans l’exemple que tu donnes, vu que la fonction ln est dérivable sur son ensemble de définitionDf' est égal à Df

Vérification en calculant f’(x) :

Avec les formules usuelles et après transformations,
$\text{ f'(x)=\frac{-4}{(x-3)(x+1)}$

Sur $]−∞,−1[∪]3,+∞[]-\infty,-1[ \cup ]3,+\infty[$ , f’ est bien définie.

Deux autres exemples très simples

$g(x)=xg(x)=\sqrt{x}$

g est définie sur $[0,+∞[[0,+\infty[$ $dg=[0,+∞[\ dg=[0,+\infty[$

mais, g est seulement dérivable sur $]0,+∞[]0,+\infty[$ : $dg′=]0,+∞[dg'=]0,+\infty[$

Vérification en calculant g’(x) :

$g′(x)=12xg'(x)=\frac{1}{2\sqrt x}$ (la condition pour g’ est bien x > 0)

En passant par le nombre dérivé:

$\lim_{x\to 0\x>0}\frac{g(x)-g(0)}{x-0}=+\infty$ (on peut parler de « tangente verticale »)

$\ dh=r$

Pour x >0, h(x)=x donc h’(x)=1 donc h dérivable sur ]0,+∞[

Pour x <0, h(x)=-x donc h’(x)= -1 donc h dérivable sur ]-∞,0[

Pour x=0, h(x)=x=-x=0 reste à régler le problème de dérivabilité.

$\lim_{x\to 0\x \lt 0}\frac{h(x)-h(0)}{x-0}= -1$

donc nombre dérivé à gauche égal à -1

$x>0h(x)−h(0)x−0=1\lim_{x\to 0\ x \gt 0}\frac {h(x)-h(0)}{x-0}=1$

donc nombre dérivé à droite égal à 1

1 non égal à –1 donch non dérivable en 0 ( il y a deux "demi-tangentes" non alignées)

Dh’=R / {0}

Regarde cela et tiens nous au courant car ce n'est pas simple d'essayer d'expliquer clairement sur un forum...

Bonjour, mtschoon.

Ah oui c est bien compris dans mon exemple les valeurs $3$ et $- 1$ $∉\notin$ $d f$ donc non définie par conséquent non continue et ceci implique que $f$ ne soit pas dérivable pour ces valeurs.

Je comprends aussi l'astuce de calculer au préalable la dérivé $f^{'}$ et chercher la condition d'existence. En faites ,on détermine $d f^{'}$ et puis on conclue.
la fonction $l n$ ne pose pas trop de problème c est plutôt $x\sqrt x$ d après l'exemple.

je fais alors $x+1x−3\sqrt { \frac { x+1 }{ x-3 } }$ en simplifiant tous les calculs

$d f$ = $\infty -1]u]3,\infty[$

$12.x−3x+1.x−3−(x+1)(x−3)2\frac { 1 }{ 2 } . \frac { \sqrt { x-3 } }{ \sqrt { x+1 } } .\frac { x-3-\left( x+1 \right) }{ { \left( x-3 \right) }^{ 2 } }$

$−2x−3(x−3)2.x+1=−2(x−3)3/2.x+1=f′\frac { -2\sqrt { x-3 } }{ { \left( x-3 \right) }^{ 2 }.\sqrt { x+1 } } =\frac { -2 }{ { \left( x-3 \right) }^{ 3/2 }.\sqrt { x+1 } }=f'$

les valeurs qui annulent le dénominateur sont $- 1$ et $3$ non dérivable en ces pts.
dans ce cas $df≠df′df\neq df'$ ?

je comprends comme ceci ?

Je vous dis merci.

Tes réponses avec l'exemple que tu donnes sont bonnes

$d f$ = $\infty, -1]u]3,+\infty[$

$d f^{'}$ = $\infty ,-1[u]3,+\infty[$

Dans les "règles de l'art" (dans un devoir), c'est mieux de donner l'ensemble de dérivabilité ( en utilisant les propriétés usuelles ) avant de calculer f'(x).

Par exemple ici, tu pourrais dire que la fonction racine est dérivable lorsque le radicande est strictement positif ( ce qui te donne l'ensemble de dérivabilité $\infty ,-1[u]3,+\infty[$ ) et ensuite calculer f'(x) ( le calcul étant valable sur cet ensemble)

Une remarque qui n'a rien à voir
Quand tu calcules l'expression de la dérivée en fonction de x, il faut écrire f'(x) et non f'.

mtschoon.

merci beaucoup c est très claire maintenant.

De rien et bonne réflexion !