Montrer l'existence de la fonction réciproque

Bonjour,
pour un exercice de niv TS +

je cherche a montrer de façon rigoureuse qu'une fonction est bijective ou pas

Mon idée,

1)je sais que $f (x)$ admet plusieurs antécédent sur $i$ , donc non bijective..Par le calcul algèbrique, $f (x) = m$ avec $m∈m\in$ ${\displaystyle \mathbb {r} } \$
On résoud cette intersection et on déduis ttes les solutions,,

Par le calcul littéral?
j 'ai supposé $f$ non bijective
$a'\in i$ ...
Est ce la bonne démarche?

2)Jai lue pas mal de chose aussi sur les fonctions réciproques, étroitement liées à la bijection.
pour $f$ bijective.
-je démontre l'existence de la fonction réciproque?
merci

Bonjour sophie90,

Un lien vers un cours :
http://www.ai.univ-paris8.fr/~audibert/ens/07-APPLICATIONS.pdf

Bonjour,

Pour parler de bijection, il faut préciser l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée.

f bijective de I vers J signifie que tout élément de I a une image (unique) , par f, dans J, et que tout élément de J a un antécédent (unique), par f, dans I.

Si tu parles de fonction numérique à variable réelle définie par sa formule explicite, il te suffit d'utiliser la continuité et le sens de variation.

Toute fonction f continue et strictement monotone de I vers J est bijective de I vers J.
Tu peux alors définir sa bijection réciproque $f^{-1}$ de J vers I

Je te donne un exemple

$f(x)=x−1f(x)=\sqrt{x-1}$

Soit I=Df=[1,+∞[
En étudiant les variations de f, tu peux justifier que f est bijective de I=[1,+∞[ vers J=[0,+∞[
(fonction dérivable, donc continue, et strictement croissante de [1,+∞[ vers [0,+∞[)

Tu peux alors définir $f^{-1}$ bijection de J=[0,+∞[ ver I=[1,+∞[

Soir x appartenant à J=[0,+∞[

$f^{-1}$ (x)=y <=> x=f(y) <=> $x=y−1x=\sqrt{y-1}$

Par élévation au carré ( car x appartient à [0,+∞[ ) :

x²=y-1 <=> y=x²+1

Conclusion

$f^{-1}(x)=x^2-1$ pour $x∈[0,+∞[x\in [0,+\infty[$

Bonnes réflexions !

Merci, pour la fiche noemi, sa m'aidera tôt ou tard,

mtschoon,

je comprends mieux,c'est très claire.
j ai appliqué vôtre raisonnement à $f(x)=x^2$

fonction polynôme ,définie et dérivable sur son ensemble de définition.

on a
$f :$ $r↦r+\mathbb {r} \mapsto \displaystyle \mathbb {r+}$ .On peut dans ce cas prècis directement conclure que $f$ est non bijective car non monotone sur $d f$ . On pose $x^2$ $= a$ d'ou $x=±ax=\pm\sqrt { a }$

si
$f :$ $r+↦r+\mathbb {r+} \mapsto \displaystyle \mathbb {r+}$ strictement croissante donc monotone sur $d f$ On a l'unicité de la solution.
C'est une bijection.
il existe alors une fonction reciproque, $}^{ -1 }(x)=\sqrt { x }$ définie sur $r+↦r+\mathbb {r+} \mapsto \displaystyle \mathbb {r+}$

On a du restreindre l'etude pour faire apparaître la bijection de $f \$

merci,

C'est bon ! Tu sembles avoir bien maîtrisé.

Un petit détail : pour la bijection, parle de fonction" strictement monotone" (pas seulement monotone)

Un complément éventuel :

En repère orthonormé, f et $f^{-1}$ ont leurs représentations graphiques symétriques par rapport à la droite d'équation y=x, ce qui est logique.

Le plus bel exemple que tu peux trouver comme bijections réciproques l'une de l'autre dans ton programme de TS est le cas des fonctions logarithme et exponentielle.

$fichier math$

Bonjour,
ah oui super on vois bien que les courbes sont toutes les deux symétrique par rapport a $x$ .

je posterai demain l'exercice sur ce sujet,

merci,

D'accord.