Calcul des limites d'une fonction comportant des puissances

Bonsoir,

je fais un exercice d'approfondissement sur les limites, une d'entre elle me laisse un doute,car ce fut long.

en vous remerciant.

limite en 1

$f(x)=3x+x+4x−3x−1f\left( x \right) =\frac { ^3\sqrt { x } +\sqrt { x } +^4\sqrt { x } -3 }{ x-1 }$ (fI)

$\left{ 3.4.2 \right} \longrightarrow 12\$ m.commun

changement de variable.

${ u }^{ 12 } =x$

$\ u=x\rightarrow 1\$

$u4+u6+u3−3u12−1=u4−1+u6−1+u3−1u12−1\frac { { u }^{ 4 }+{ u }^{ 6 }+{ u }^{ 3 }-3 }{ { u }^{ 12 }-1 } =\frac { { u }^{ 4 }-1+{ u }^{ 6 }-1+{ u }^{ 3 }-1 }{ { u }^{ 12 }-1 }$

$\ \ \ \ \ \quad \ \leftrightarrow \frac { { u }^{ 2 }-1\left( { u }^{ 2 }+1 \right) }{ { u }^{ 12 }-1 } +\frac { { u }^{ 3 }-1\left( { u }^{ 3 }+1 \right) }{ { u }^{ 12 }-1 } +\frac { { u }^{ 3 }-1 }{ { u }^{ 12 }-1 } \ \ \quad \ \leftrightarrow \frac { { u }^{ 3 }-1\left[ { u }^{ 3 }+2 \right] }{ { u }^{ 12 }-1 } +\frac { \left( u-1 \right) \left( u+1 \right) \left( { u }^{ 2 }+1 \right) }{ { u }^{ 12 }-1 } \ \ \ \quad$

$↔u3−1[u3+2]u3−1(u3+1)(u6+1)+(u−1)(u+1)(u2+1)(u3+1)(u6+1)(u−1)(u2+u+1)\leftrightarrow \frac { { u }^{ 3 }-1\left[ { u }^{ 3 }+2 \right] }{ { u }^{ 3 }-1\left( { u }^{ 3 }+1 \right) \left( { u }^{ 6 }+1 \right) } +\frac { \left( u-1 \right) \left( u+1 \right) \left( { u }^{ 2 }+1 \right) }{ \left( { u }^{ 3 }+1 \right) \left( { u }^{ 6 }+1 \right) \left( u-1 \right) \left( { u }^{ 2 }+u+1 \right) }$

$lim⁡u→1[u3+2](u3+1)(u6+1)+lim⁡u→1(u+1)(u2+1)(u3+1)(u6+1)(u2+u+1)=34+412=1312\lim _{ u\rightarrow 1 } \frac { \left[ { u }^{ 3 }+2 \right] }{ \left( { u }^{ 3 }+1 \right) \left( { u }^{ 6 }+1 \right) } +\lim _{ u\rightarrow 1 } \frac { \left( u+1 \right) \left( { u }^{ 2 }+1 \right) }{ \left( { u }^{ 3 }+1 \right) \left( { u }^{ 6 }+1 \right) \left( { u }^{ 2 }+u+1 \right) } =\frac { 3 }{ 4 } +\frac { 4 }{ 12 } =\frac { 13 }{ 12 }$

Bonsoir,

Je ne vois pas d'erreur.

Bon travail !

merci,

bonne jrnée

Bonjour, OK c'est bon.
Mais en posant $g(x)=x1/4+x1/3+xg(x)=x^{1/4}+x^{1/3}+\sqrt{x}$
alors f(x)=(g(x)-g(1))/(x-1). Donc par déf de la dérivabilité, la limite cherchée est égale à g'(1).
Donc
$g′(x)=14x3/4+13x2/3+12xg'(x)=\frac{1}{4 x^{3/4}}+\frac{1}{3 x^{2/3}}+\frac{1}{2 \sqrt{x}}$
et g'(1)=13/12

bonjour,

j ai testé sur des limites compliquées et effectivement sa marche.C'est beaucoup plus rapide merci pour l'astuce.

par contre taux d 'accroissement à condition qu on a du $0 / 0$ et un polynôme de la forme $x - a$ au dénominateur?
merci,

Bonsoir Sophie,

Oui, le dénominateur doit s'écrire (x-a), la limite demandée étant lorsque x tend ver a.

$f(x)=g(x)−g(a)x−af(x)=\frac{g(x)-g(a)}{x-a}$

Dans ce cas , si g est dérivable en a :

$lim⁡x→af(x)=lim⁡x→ag(x)−g(a)x−a=g′(a)\lim_{x\to a}f(x)= \lim_{x\to a}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}=g'(a)$

Bonjour, mtschoon

En m’interrogeant sur cette "astuce " et sur différents calculs de limites on constate aussi qu'on peut simplifier directement par $g′(x)t′(x)\frac { g'(x) }{ t'(x) }$ comme quotient de deux fonctions

Dans pas mal de cas j' ai calculé très rapidement ces limites , hallucinant.

merci, bon week-end

Oui, dans certains cas, passer par les dérivées est très commode pour lever certaines indéterminations, et évite de longues lignes de calculs.

Dans ta dernière réponse, je suppose que tu parles de la "règle de l'Hôpital"
Je te mets un lien :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Règle_de_L'Hôpital

Cependant, passer par les dérivées pour trouver une limite n'est pas toujours bien considérédans l'enseignementfrançais...

A ma connaissance, en lycée, ce n'est pas explicité dans les programmes et dans l'enseignement supérieur, la méthode "reine" est celle des développements limités.

Il y a ici, une discussion qui en dit long sur ce sujet.

http://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/154861-regle-de-lhopital.html

Peut-être pourrais tu demander son avis à ton professeur de mathématiques.

Bon week-end !

Bonjour,

Oui, le prof a bien confirmé vos dires, la règle de l'hôpital rend le calcul trop élémentaire pour des TS.

Par-contre ,une vérité ne peut pas être sanctionnable ,ce qui laisse sous entendre que son utilisation ne peut pas nous être reproché.

Dans l'enseignement supérieur , cette règle peut être utile dans le cas d'expression à rallonge et de mélange des genres.

$9 / 10$ - les limites compliqués sont trouvés par méthode d équivalence ou de Développements limités, et parfois d'encadrement.

J'ai quelques limites à résoudre donné par le professeur ,apparemment c'est en relation avec les fonctions dite équivalente et les encadrements.

je posterai les calculs une fois que ces notions sont apprise.

Merci , pour vôtre aide ,bonne fin de jrnée

Bonjour,
Je ne peux que rectifier ce qui a été dit. Pour faire un calcul de limite tout dépend des outils que l'on a à sa disposition. Ici, il ne s'agit pas "d'astuce" mais de voir que l'on a simplement une limite qui correspond à un calcul de dérivée et rien d'autre.
Maintenant si la notion de dérivée n'est pas au programme (ou les dérivées des puissances fractionnaires), on peut faire comme tu as fait et c'est bien.
Maintenant pour donner une sorte de "systèmatisme" à ton calcul, c'est à dire le rendre plus aisé, on fait comme cela (le changement de variable u=x^12 étant fait).

Comme u tend vers 1 on pose u=1+h et h tend vers 0.
On remarque que (1+h)^n est un polynôme en h qui commence comme cela
(1+h)^n=1+n h+h^2 (q_n(h)) où q_n(h) est un polynôme qu'il n'est pas nécessaire de préciser.
On remplace dans ton expression, on simplifie et on passe à la limite qd h->0.
C'est facile et cela va tout seul