Intégrale - changement de variable

Bonjour mtschoon

je cherche à montrer l’égalité suivante et donner une interprétation graphique :

$∫011+e2xdx=∫1e1+(1x)2dx\int _{ 0 }^{ 1 }{ \sqrt { 1+{ e }^{ 2x } } dx } =\int _{ 1 }^{ e }{ \sqrt { 1+{ \left( \frac { 1 }{x } \right) }^{ 2 } } } dx$

j'ai posé: ${ e }^{ x }=t$ ,soit $x=\ln { t }$ ,$dx=\frac { dt }{ t } \$

donc $∫1e1+t2t2dt=∫1e1+(1t)2dt\int _{ 1 }^{ e }{ \sqrt { \frac { 1+{ t }^{ 2 } }{ t^{ 2 } } } } dt=\int _{ 1 }^{ e }{ \sqrt { 1+{ \left( \frac { 1 }{ t } \right) }^{ 2 } } } dt$

mais après pour le retour de la variable faut il posé $x = t$ ?

Pour l’interprétation: il faut juste remarquer que ces intégrales sont des applications aux calculs d'arcs et d'autre part elles sont réciproques.

merci,

Bonjour Sophie,

Tu n'as pas besoin de poser x=t

$∫1e1+(1t)2dt=∫1e1+(1x)2dx\int _{ 1 }^{ e }{ \sqrt { 1+{ \left( \frac { 1 }{t} \right) }^{ 2 } } }dt=\int _{ 1 }^{ e }{ \sqrt { 1+{ \left( \frac { 1 }{x } \right) }^{ 2 } } } dx$

F étant une primitive de f sur [a,b], le nom de la variable n'a pas d'importance pour la valeur de l'intégrale, calculée, dans les deux cas, sur le même intervalle [a,b]

$\bigint_a^b f(t)dt=[f(t)]_a^b=f(b)-f(a)$

$\bigint_a^b f(x)dx=[f(x)]_a^b=f(b)-f(a)$

Donc :

$\bigint_a^b f(t)dt=\bigint_a^b f(x)dx$

ah ben oui c'est muet.

merci,bon week-end

Bon week-end à toi !