problème d'équation différentielle



  • Coucou tout le monde, j'ai un Dm de maths et je comprends rien à un exo sur la loi de refroidissement de Newton:
    "la vitesse de refroidissement d'un corps inerte est proportionnelle à la différence de température entre ce corps et le milieu ambiant"
    Autrement dit, si f(t) désigne la température d'un corps inerte à l'instant t et T désigne la température du milieu ambiant ( T cstte) on a:
    f'(t)=a(T-f(t)) où a désigne une cstte dépendant des conditions expérimentales.

    Dans tout le problème, le tps t est exprimé en minutes. :shock: :shock:

    1. dans une cuisine, il fait 20°C. A l'instant t=0, on verse dans le bol de Pierre de la soupe à 60°C.
      On note f(t) la température de la soupe après t minutes.
      Exprimer f(t) en fonction de t et de a .

    2. Au bout de 2 minutes, Pierre n'a tjs pas bu sa soupe qui est maintenant à la température de 45°C. Calculer la valeur de la constante a. (arrondi a 10^-3 près)

    3. Sachant que Pierre ne boit sa soupe que lorsque sa température passe en dessous de 25°C, combien de tps ses parents devront-ils attendre avant que leur enfant commence à boire sa soupe (arrondir en minutes)

    Voila le bonheur des maths à encore frapper donc si quelqu'un à une idée svp svp svp svp


  • Modérateurs

    Juju et ses équa diff ...

    1. f'=a(T-f) peut s'écrire f'=-af+aT
      On a donc bien une équation de la forme y'=Ay+B (A=-a et B =aT) dont la solution est de la forme y=Ce^-at+D (C et D sont des réels).
      Il faut calculer y' puis remplacer f par y et f' par y' dans l'équation différentielle de l'énoncé ce qui conduit à une équation permettant de trouver D=T (=20).
      La fonction devient donc f(t)=Ce^-at + 20
      Or à t=0, f(0)=60. Cela nous conduit à une équation permettant de trouver C=40

    2. Donc f(t) = 40e^-at + 20
      f(2)=45 cette équation nous permet de trouver a=(ln8-ln5)/2
      (Ca va la résolution d'équations avec exponentielle ?)

    3. Il faut résoudre l'équation f(t)=25
      On trouve t = ln8 / a
      (encore une équation avec exponentielle ! Ca va toujours ?)

    J'espère que çà t'aidera Juju sinon dis-moi si tout n'est pas clair 😉


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