Exercice sur les fonctions Logarithme népérien

Bonjour à tous,

Je suis nouvelle, et je découvre petit à petit votre site qui m'a l'air d'être utile pour m'aider dans mes difficultés. Voilà, j'ai un exercice a faire sur les fonctions LN, et je bloque depuis un certain temps sur une question ... La voici :

On pose F1(x)= ln (e^x+x) - x sur [0;+ l'infini]
1/ Etudier le sens de variation >> j'ai trouver que la fonction était croissante après avoir calculé sa dérivée et après avoir étudier son signe.
2/Monter que F1(x)= ln(1+(x/e^x))et en déduire la lim de F1(x) quand x-->+inf

C'est cette quesiton qui me pose probleme: Voici ce que j'ai essayer de chercher..

on sait que F1(x)= ln (e^x+x) - x
Ensuite j'ai mis ln(e^x+x) = 0 j'ai donc voulu la mettre sous forme d'équation , ce qui me donne: e^(ln(e^x+x))=e^0
e^(ln(e^x+x))=1

e^x + x = 1
x= (1-e^x)
mais j'ai l'impression que cela ne me mène pas a grand chose.....

Pouvez-vous m'aider?
Merci d'avance....
Nessty
inf/ inf/ inf/ inf/ inf/ $^{ }$

Salut,

non en effet ce que tu as fait ne sert absolument à rien.
Dans ce genre de question, part de l'expression qu'on te demande de démontrer, et retrouve celle de départ : c'est généralement la méthode la plus facile.

C'est-à-dire part de :
$ln(1+(x/e^x$ ))
=.....
=....
= ln $e^x$ +x) - x
= F1(x)

Tu verras comme ça c'est beaucoup plus facile.

Bonjour Nessty,
pour la 1ère question, tu as fait une erreur....
Je crois que tu as du te tromper en dérivant F1 car elle n'est pas croissante; je te donne ce que j'ai trouvé comme dérivée, essaie de la retrouver :

F1'(x) = (1-x)/(e^x+x)

A moins que je me sois trompé, ce qui m'étonnerait...

Pour la 2eme question :
Ton ébauche de solution ne mène effectivement pas loin. Car il n'est pas question ici de résoudre une quelconque équation. On te demande juste de réécrire F1 autrement. Un petit coup de pouce : à l'interieur du $l n$ , il te suffit de mettre $e^x$ en facteur puis utiliser les proprietes de $l n$ , ca tombe tout seul... fais signe si tu as des problemes...

Merci bien Jaoira ! Effectivement je me suis tromper, j'ai refais la dérivée, et j'ai trouver ton résultat... j'avais oublier de dérivée x qui donne 1 ... donc la fonction est croissante puis décroissante ? ... oui je pense que c'est ca....
Par contre, je bloque encore sur la 2e question .... Je n'arrive pas à factorier e^x, et je ne comprends pas pourquoi et comment ... puisqu'il n'y en a qu'un seul dans la formule .... j'aurais effectivemet besoin d'un autre coup de pouce.

Quant a Madivn, merci beaucoup pour ta méthode, mais je n'arriv pas non plus à l'appliquer ... grrrrr...

Merci encore,
Nessty

Eh ben,
comme il le dit madvin (il ou elle je sais pas trop....) :frowning2: ,
tu as :
F1(x) = ln(e^x+x)- x . Mais e^x+x = e^x(1+x/e^x), non ? Meme si tu n'as pas e^x dans x, tu peux toujours le mettre en facteur a condition de le diviser dans x... Et donc :
F1(x) = ln(e^x(1+x/e^x))-x . Tu sais que ln(ab) = ln(a)+ln(b), donc :
F1(x) = ln(e^x)+ln(1+x/e^x) - x. Et enfin, on sait que ln(e^x) = x....

mille merciii !! mais figures qu'en fait j'avais fais comme toi , mais les erreurs d'étourderies m'avaient apparemment rattraper... :s

Pour "en déduire" la limite F1(x) qd x--> + inf/... peux tu me dire si je suis sur la bonne voie.. ( pr la lecture de mes calculs, x tend tjs vers +inf)
lim ln(1+(x/e^x)) = lim ln1xln(x/e^x)
--> calculs séparés --> lim ln1= +inf
lim ln(x/e^x)=0
donc limF(x)=+ inf

Merci

Heu...non, pas du tout, t pas dans la bonne voie....
Remarque : d'apres les croissances comparees, la limite de x/e^x quand x tend vers +inf vaut 0...

heu ... oui ...
donc lim ln1=0 puisque ln1=0 .. et ln x/e^x =0
donc lim F1= 0 .... quand x tend vers +inf........
jy suis ?

Non en fait la limite c ca, mais ce que je reprime dans ton message precedent c que tu aies ecrit : ln(1+x/e^x)=ln(1)*ln(x/e^x), ca ce n'est pas vrai!!! Mais en fait t'as pas besoin de developper a ce stade....

moui ..... je sais que la limite c'est 0 ... mais je pense avoir trouver ...
comme tu avais dis: x/e^x tend vers 0 .... et en fait lim F1=0 parce que ln 1=0 .....