Arithmétique. Problème congruence



  • Pour chacune des implications suivantes :

    • Dites si elle est vraie
    • Formule l'implication réciproque
    • Dites si cette implication réciproque est vraie

    Toute réponse doit être justifiée.

    1. xx est un entier naturel non nul.
      Si x30(mod9)x^3 \equiv 0 \pmod 9 alors , x0(mod3)x \equiv 0 \pmod 3

    2. a,b,ca,b,c et dd sont quatres entiers naturels non nuls
      a) si dd divise abab, alors dd divise aa ou dd divise bb
      b) Si dd divise aa et bb , alors dd divise a+ba + b
      c) Si aa divise bb et aa divise cc , alors a2a^2 divise bcbc

    Aidez moi s'il vous plait.


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Bizarre que tu ne proposes rien pour cet exercice qui comprend des questions totalement indépendantes...
    Tu ne sais vraiment rien faire ?

    Vu le titre que tu donnes, je regarde la 1)

    Piste pour la partie directe, soit x30(mod9)x^3 \equiv 0 \pmod 9
    Tu peux faire la table de congruence modulo 9 (tu dois détailler les calculs nécessaires , bien sûr)

    Sauf erreur : x30(mod9)x^3 \equiv 0 \pmod 9 correspond à 3 cas :

    • x0(mod9)x=9k=3(3k)x0(mod3)x \equiv 0 \pmod 9 \implies x = 9k = 3(3k) \implies x \equiv 0 \pmod 3
    • x3(mod9)...x \equiv 3 \pmod 9 \implies ... tu termines
    • x6(mod9)...x \equiv 6 \pmod 9 \implies ... tu termines

    Conclusion : x0(mod3)x \equiv 0 \pmod 3
    L'implication proposée est donc vraie

    Piste pour la partie réciproque : soit x0(mod3)x \equiv 0 \pmod 3

    x0(mod3)x=3kx3=27k3=3(9k3)x30(mod9)x \equiv 0 \pmod 3 \implies x = 3k \implies x^3 = 27k^3 = 3(9k^3)\implies x^3 \equiv 0 \pmod 9

    L'implication réciproque est donc vraie.

    Bon travail !


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