Arithmétique. Problème congruence

[Molotov56]

Pour chacune des implications suivantes :

• Dites si elle est vraie
• Formule l'implication réciproque
• Dites si cette implication réciproque est vraie

Toute réponse doit être justifiée.

1. $x$ est un entier naturel non nul.
   Si $x^3\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$ alors , $x\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$

2. $a,b,c$ et $d$ sont quatres entiers naturels non nuls
   a) si $d$ divise $ab$, alors $d$ divise $a$ ou $d$ divise $b$
   b) Si $d$ divise $a$ et $b$ , alors $d$ divise $a+b$
   c) Si $a$ divise $b$ et $a$ divise $c$ , alors $a^2$ divise $bc$

Aidez moi s'il vous plait.

[mtschoon]

Bonjour,

Bizarre que tu ne proposes rien pour cet exercice qui comprend des questions totalement indépendantes...
Tu ne sais vraiment rien faire ?

Vu le titre que tu donnes, je regarde la 1)

Piste pour la partie directe, soit $x^3\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$
Tu peux faire la table de congruence modulo 9 (tu dois détailler les calculs nécessaires , bien sûr)

Sauf erreur : $x^3\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$ correspond à 3 cas :

• $x\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)⟹x=9k=3(3k)⟹x\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$
• $x\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)⟹...$ tu termines
• $x\equiv 6(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)⟹...$ tu termines

Conclusion : $x\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$
L'implication proposée est donc vraie

Piste pour la partie réciproque : soit $x\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$

$x\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)⟹x=3k⟹x^3=27k^3=3(9k^3)⟹x^3\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$

L'implication réciproque est donc vraie.

Bon travail !