4. Etudier sens de variation, croissance et limites de fonctions

Etudier sens de variation, croissance et limites de fonctions

  • X

    Bonjour, est ce que quelqun pourait me corriger et me donner un peu d'aide pour l'exercice suivant svp.

    Partie A
    On considere les fonctions f et g definies sur R par:
    f(x)=e(-x^2) et g(x)=x^2*e(-x^2)

    On note respectivement Cf et Cg les courbes representatives de f et g dans un repere orthonormal (O,i,j), dont les traces sur trouvent normalement sur la feuille de mon exercice mais je n'ai pa pu les copier, dsl, mais il est facile de les representer sur une calculatrice.
    1)Identifier Cf et Cg sur la feuille fournie.(Justifier la reponse)
    On peut clairement identifier les deux courbes en posant:
    f(0)=e(-0^2)=1
    donc Cf est la courbe qui admet f(0)=1 , dont 1 est un maximum.

    g(0)=0^2*e(-0^2)=0
    donc Cg est la courbe qui admet g(0)=0

    2)Etudier la parite des fonctions f et g.
    f(-x)=e(-(-x)^2)=e(-x^2)=f(x)
    f(-x)=f(x) donc f est une fonction paire.

    g(-x)=(-x)^2e(-(-x)^2)=x^2e(-x^2)=g(x)
    g(-x)=g(x) donc g est une fonction paire.

    1. Etudier le sens de variation de f et de g.Etudier les limites de f et g en +infini.

    f'(x)=-2xe(-x^2)
    Regardons ou f'(x) s'annule:
    -2x    e(-x^2)=0
    -2x=0 et e(-x^2)=0
    x=0 pas de solution

    f est donc croissante sur ]-infini;0[ etr decroissante sur ]0;+infini[.

    g'(x)=2xe(-x^2)+x^2-2xe(-x^2)=2xe(-x^2)-2x^3e(-x^2)
    =e(-x^2)    (2x-2x^3)
    Regardons ou g'(x) s'annule:
    g'(x)=0
    e(-x^2)*(2x-2x^3)=0
    e(-x^2)=0 et (2x-2x^3)=0
    pas de solution x=-1 x=0 x=1
    donc g est croissante sur ]-infini;-1[ et ]0;1[ et est decroissante sur ]-1;0[ et ]1;+infini[.

    -x^2 tend vers -infini en +infini , donc e(-x^2) tend vers 0 en +infini.
    f tend vers 0 en +infini

    comme e(-x^2) tend vers 0 en +infini , l'exponentielle l'emportant sur x^2, x^2*e(-x^2) tend aussi vers 0 en +infini.
    g tend vers 0 en +infini.

    4)Etudier la position relative de Cf et de Cg.
    f(x)-g(x) = (1-x^2)*e(-x^2)
    pour tout x de R, e(-x^2)>0
    Donc f(x)-g(x) est du signe de (1-x^2)=(1-x)(1+x)
    Donc Cf est au dessus de Cg sur ] -1 ; 1[ et en dessous sinon

    Partie B:
    On considere la fonction G definie sur R par:
    G(x)=primitive de 0 a x, de ( t^2*e(-t^2))dt

    1. Que represente G pour la fonction g.
      G est la primitive sur qui s'annule en 0 de la fonction g.

    2)Donner pour x>0, une interpretation de G(x) en termes d'aires.G(x) correspond a l'aire de lacourbre delimite en tre 0 et x.

    3)Etudier le sens de variation de G sur R.
    Pour tout x réel G'(x)=t^2*e(-t^2)>0, donc G est strictement croissante sur R.

    4)Demontrer,que,pour tout reel x,G(x)=1/2*[F(x)-xe(-x^2)]; (on pourra comencer par comparer les fonctions derivees de G et de x--->1/2*[F(x)-xe(-x^2)].
    On admet que la fonction F admet une limite l en + infini , et que cette limite l est egale a l'aire, en unites d'aire,du domaine A limite par la courbe Cf et les demi droites (O;i) et (O;j). i et j etqnt des vecteurs.
    G'(x)=x²e-x²
    H(x)=1/2*[F(x)-xe(-x^2)] alors H'(x)=F'(x)/2-(e-x²-2x²e-x²)/2 or F'(x)=e-x²
    donc H'(x)=e-x²/2 -e-x²/2+2x²e-x²/2= x²e-x²=G'(x)
    donc H'(x)=G'(x)
    de plus G s'annule en 0 et H(0)=1/2(F(0)-0)=0 car F(0)=0 donc H s'annule aussi en 0 et donc G(x)=H(x) =1/2*[F(x)-xe(-x^2)].

    5)a)Demontrer que la fonction G admet une limite en + infini que l'on precisera.
    je n'y arrive pas, je ne vois pas comment faire, je suis embeter par la primitive;
    veuillez m'aider svp.
    merci beaucoup

    M 1 réponse
  • M

    Salut,

    voici un petit dessin des courbes de la Partie A :

    http://pix.nofrag.com/42/7d/6f16d6fb185c04b57da87517dcea.jpeg

    M 1 réponse
  • M

    Oups fallait pas indiquer Cf et Cg.... tant pis !! :razz:

    J 1 réponse
  • J

    Salut madvin,
    jpense il suffit juste de corriger puisque il est possible que xavier005 ne l'ait pas encore vu...

    X 1 réponse
  • X

    re, merci pour votre aide.
    Est ce que quelqun pourait m'aider pour la fin de l'exercice.
    5)
    a)donc,la limite de G(x) en +infini est simplement l/2.
    b)Interpreter en termes d'aires le reel N= integrale de 0 a 1 de ((1-t^2)e(-t^2))
    N correspond a l'aire'en unites d'aire, du domaine limite par la courbe Cf, la courbe Cg, et les droites x=0 et x=1.

    c)En admettant que la limite de G en +infini represente l'aire P en unites dèaire du domaine D limite par la demi-droite (O;i) et la courbe Cg justifier graphiquement que:
    integrale de 0 a 1 de ((1-t^2)e(-t^2))=>l/2
    (on poura illustrer le raisonnement sur une figure).
    je comprends pas vraiment cette inegalite
    merci beaucoup

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