Probleme sur les fonctions derivées



  • Salut, a tous voila j'ai un probleme de maths et j'aimerais bien le comprendre, si quelqu'un pourrait m'aider svp...voila l'exo :

    On considère la fonction f definie sur R par :

    f(x) = (1/2) x² + 2x

    1°/ Determiner f'(x)
    2°/ Ecrir une équation des tangentes à la courbe Cf aux points d'abscisses -2 et 0
    3°/ Démontrer que la tangente à Cf au point d'abscisse a est :
    y = (a + 2) x - 1/2 a²
    4°/ Determiner les points de Cf pour lesquels la tangente passe par le point A (0 ; -2)
    5°/ Construire la courbe Cf, et les tangentes determinées dans les questions precédentes.

    Merci d'avance a tous ceux qui m'aiderons ^^

    J'ai deja fais ca :

    1°/ f(x) = (1/2) x² + 2x
    f'(x) = 1/2 x 2x + 2
    f'(x) = 2/2 x + 2
    f'(x) = x + 2

    2°/
    f(x) = (1/2) x² + 2x
    On applique la formule y = f'(a)(x-a)+f(a) avec ici a = -2
    ce qui donne.
    y = f'(-2)
    (x-2)+f(-2)

    On est conduit a determiner f'(x) puis f'(-2)
    f'(x) = x + 2
    f'(-2) = -2 + 2 = 0

    f(-2) = (1/2)-2² + 2(-2)
    = (1/2) * 4 + (-4)
    = 2 - 4
    = -2

    Donc Cf a pour equation :
    y = 0 (x -2) + (-2)
    y = -2

    f(x) = (1/2) x² + 2x
    On applique la formule y = f'(a)(x-a)+f(a) avec ici a = 0
    ce qui donne.
    y = f'(0)
    (x-0)+f(0)

    On est conduit a determiner f'(x) puis f'(0)
    f'(x) = 0 + 2
    f'(0) = 2

    f(0) = (1/2)0² + 2(0)
    = 0 + 0
    = 0
    Donc Cf a pour equation :
    y = 2 (x -0) + (0)
    y = 2x

    voila j'aimerais savoir si tout cela est juste et pour l a trois je bataille un peu, et pour la quatre aussi...


  • Modérateurs

    Salut.

    1°/ C'est bon.
    2°/ Idem.

    3°/ C'est pareil qu'à la 2°/, sauf que cette fois tu ne prends ni -2, ni 0, mais a. Tu calcules donc f(a), f'(a), et ça te donne l'expression de la tangente au point a grâce à l'expression de la tangente.

    4°/ Dans l'expression de la tangente, il y a x et y qui apparaissent. Donc comme on cherche les tangentes passant par A(x=0;y=-2), tu remplaces x par ..., et y par ... . Il ne te restera plus qu'à résoudre une équation en a. Conclusion:... à toi de la faire.

    @+



  • ok merci, pour la 3 c'est bon j'ai tout compris et j'ai reussi a retrouver l'equation :

    en revanche pour la quatre je ne comprend vraiment rien...
    Tu ne pourrais pas m'aider encore un petit coup stp
    Merci



  • Jeet t'avait presque tout dit !

    La tangente au point d'abscisse a est (Ta) : y = (a + 2) x - 1/2 a².

    On impose à celle-ci de passer par A(x=0 ; y=-2) : tu vois x et y ci-dessus ? tu remplces par ces valeurs ; comme ça tu obtiens une équation du second degré dont l'inconnue est a. Il reste alors à la résoudre.



  • ok, merci je crois avoir compris !!

    -2=(a+2)0-(1/2)
    donc a² = 4
    donc a = 2 ou a =-2 et ensuite je calcule f(a)

    f(a) = 1/2a²+2a
    donc
    f(a) = 1/2*(-2)²+2*(-2)
    ou
    f(a) = 1/2*(2)²+2*(2)

    C'est juste ?? désole de demander mais bon c'est important 🙂
    Merci


  • Modérateurs

    Salut.

    La question est: "4°/ Determiner les points de Cf pour lesquels la tangente passe par le point A (0;-2)".

    Donc indique-nous ces points selon toi. Sinon tes calculs sont justes.

    @+



  • rebonjour, je suis désole mais je ne comprend toujours pas la 4 !!!
    f(a) = 1/2a²+2a
    donc
    f(a) = 1/2*(-2)²+2*(-2) = -2
    ou
    f(a) = 1/2*(2)²+2*(2) = 6

    donc les point serais : A (-2;-2) et A (2;6) je pense que je suis a coté de la plaque la mais bon...
    Merci


  • Modérateurs

    Salut.

    Au contraire, c'est juste! Sauf, qu'il faudrait appeler autrement tes points. Par exemple B et C, vu que A est déjà utilisé.

    En fait, qu'est-ce qu'on a fait?

    Au départ, il a fallu calculer l'expression de toutes les tangentes à la courbe de f en fonction d'un paramètre "a", qui est l'abscisse du point où il y a tangence.

    Ensuite, on te demande parmi toutes ces tangentes, quelles sont celles qui passent par le point A(0;-2). Donc tu cherches parmis les tangentes à la courbe de f, celles dont l'expression est telle, que:

    Si l'expression de la tangente est de la forme: t(x)=bx+c; Elle respecte la condition:

    Au point d'abscisse 0, on veut t(0)=-2. Tu me suis? On est d'accord que si l'image du point 0 par t est -2, alors la tangente passe par le point A(0;-2).

    On en arrive donc à résoudre l'équation:

    t(0)=-2 equiv/ -2=(b*0)+c

    Tu en as déduit que 2 tangentes respectent cette condition. Celle dont "a" vaut 2, et celle dont "a" vaut -2.

    Or, "a" est l'abscisse du point de la courbe où il y a tangence. Comme la question te demande de donnre "les points de Cf pour lesquels la tangente passe par le point A(0;-2)", tu sais que les coordonnées de ces points sont:

    B(-2;f(-2)) et C(2;f(2)) car ils appartiennent à Cf.

    Tu cherches les valeurs de f(-2) et f(2), ce qui te permet donc de donner avec précision la position de ces points.

    @+



  • merci bcp j'adore ton explication !! la au moin j'ai tout compris !!!

    Merci encore a vous deux, il me reste plus qu'a ecrire tout ca au propre 🙂
    Bonne journée


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