Quelqu'un peut corriger un exo sur les asymptote svp !!



  • Salut a tous, j'ai deja fais l'exercice mais j'aimerais savoir si c'est juste ou pas, merci a celui ou celle qui me le corrigera 😉

    voici l'ennoncé :

    On considere la fonction f definie sur :
    ]- inf/;0[U]0;+ inf/[
    Par : f(x) = (x-1)² / x

    On designe par C sa courbe représentative dans un repere orthonormal (O,i,j) (unité 1 cm)

    1°/ Determiner les limite de f en 0. Indiquer une conséquence graphique du resultat
    2°/ a) Déterminer les limites de f en + inf/ et en - inf/.
    b) Démontrer que la droite D d'équation y = x-2 asymptote à C
    c) étudier la position relative de C et D
    3°/ Etudier les varations de f et et dresser le tableau des variations complété par les limites

    Alors voici ce que j'ai fais !!!

    1°/ lim f(x)= (0-1)²/0- =1/0- = - inf/
    x -> 0
    x<0
    lim f(x) = (0-1)²/0+ = + inf/
    x->0
    x>0
    Les limites de f(x) en 0 sont + inf/ et - inf/ donc x=0 est une asymptote verticale

    2°/a) lim f(x) = ( + inf/ -1)² / + inf/ = + inf/ / + inf/

    On aboutit donc a une forme inderterminée donc on developpe f(x)
    f(x) = (x-1)²/x = x²-2x+1 / x = (x²/x) - (2x/x) + (1/x)
    f(x) = x-2 + (1/x)

    • lim x = + inf/
      x-> + inf/

    lim x = - inf/
    x-> - inf/

    • lim 1/X = 1/ +inf=0
      x-> + inf/

    lim 1/x = 1§-inf/ = 0
    x-> -inf/

    Donc : lim f(x) = + inf/
    x-> + inf/
    lim f(x) = - inf/
    x-> - inf/

    B) Droite D d'équation y = x-2 asymptote à C, l'équation de la droite D est de la forme y = ax+b donc elle pourait etre asymptote oblique. Pour cela, il gaut que lim [f(x) - (ax+b)] = O quand x-> - et + inf/

    [f(x) - (ax+b)] = (x-1)²/x - (x-2)
    = x²-2x+1-x²+2x
    =1/x
    lim 1/x = 0 quand x tend vers - et + inf/

    C) C : f(x) = (x-1)²/x
    😧 y = x-2
    Pour etudier la position relative de C et D, on soustrait ces deux derniers.
    f(x)-(x-2) = 1/x

    Si x>O, C est au dessus de D
    Si x<O, C est en dessous de D

    1. f(x) = (x-1)²/x
      Df=Df'=R*
      u'(x) = 2x u' x u = 2x(x-1)x1=2x-2
      v'(x)=1
      donc u/v = u'v-uv'/v²
      donc f(x) = [(2x-2)x-(x-1)² x 1 ] / x²
      = [2x²-2x-x²+2x-1] / x²
      = (x²-1) / x²

    Le signe de la dérivé est du meme signe que le numero car x² est toujours superieur :
    Tableau de variation de f(x)

    alors j'ai mis pour la ligne x²-1
    -inf/ et -1 = +
    -1 et 0 = -
    0 et 1 = -
    1 et +inf/ = +

    pour la ligne x² dans l'ordre : + + + +
    pour la ligne (x²-1)/x² dans l'ordre : + - - +
    et pour le sens de variation de f(x) : monte, descend, (double barre) descend, monte

    voila c'est fini merci a tout ceux qui m'aiderons !!!!



  • Salut,

    tes résultats me semblent corrects, BRAVO !! Mais de petites maladresses apparaissent à certains endroits !

    ben06

    B) Droite D d'équation y = x-2 asymptote à C, l'équation de la droite D est de la forme y = ax+b donc elle pourait etre asymptote oblique. Pour cela, il gaut que lim [f(x) - (ax+b)] = O quand x-> - et + inf/

    [f(x) - (ax+b)] = (x-1)²/x - (x-2)
    = x²-2x+1-x²+2x *******
    =1/x
    lim 1/x = 0 quand x tend vers - et + inf/*** Ici tu pouvais aller plus vite : tu avais montré à la question précédente que f(x) = x-2 + (1/x) donc (x-1)²/x - (x-2) = x-2 + (1/x) - (x-2) = 1/x

    ben06

    1. f(x) = (x-1)²/x
      Df=Df'=R*

    u'(x) = 2x u' x u = 2x(x-1)x1=2x-2
    v'(x)=1
    donc u/v = u'v-uv'/v²
    donc f(x) = [(2x-2)x-(x-1)² x 1 ] / x²
    = [2x²-2x-x²+2x-1] / x²
    = (x²-1) / x²

    **** Ici il faut préciser : Posons f(x) = u(x) / v(x) avec u(x) = (x-1)² et v(x) = x
    De plus tu as fait une erreur juste en dessous, marque plutôt : Soit w(x) = x-1, u'(x) = 2*w'(x) * w(x)
    Aussi ne marque pas "donc u/v = u'v-uv'/v²", ce qui est FAUX d'ailleurs, mais "or (u/v)' = u'v-uv'/v²".

    ben06

    Le signe de la dérivé est du meme signe que le numero car x² est toujours superieur :
    Euh...cette phrase ne veut pas dire grand chose. Je suppose que tu voulais dire "numérateur" et pas "numéro".

    Soit tu gardes la phrase : "La dérivée f' a le même signe que le numérateur car x² est toujours positif" et alors la ligne x² n'a plus d'utilité dans le tableau de variations.

    Soit tu peux trouver le signe de f'(x) en dehors du tableau de variations comme ceci :

    x² est toujours positif, donc f'(x) a le signe de x²-1.
    x²-1 >= 0
    equiv/
    x² >= 1
    equiv/
    x >= 1 ou x <= -1

    Donc f'(x) >= 0 sur ]-inf/;-1] union/ [1;+inf/[
    et donc f'(x) <= 0 sur [-1;0[ union/ ]0;1]

    Dans ce cas là, les lignes x²-1 et x² n'ont donc plus d'utilité dans le tableau de variations.



  • Ok, merci bcp, il ne me reste plus qu'a changer ces petites chose 🙂


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