formules de trigonométrie, pour dm !



  • alors j'ai un exercice à faire pour vendredi en DM, et je n'arrive à faire que la moitié :
    ON a un demi cercle , de rayon OA =10cm, gradué en pipi/9
    On pose a= cos2pipi/9 b=cos4pipi/9 c=cos8pipi/9

    1. On mesure :a=7,7 ; b=1,7 ; c= -9,4 ; a+b+c=0; abc=-123,05 ;
      ab+bc+ac=-75,27 ; a²+b²+c²=150,54 ; a^3 -3/4a+1/8 =450,88
      b^3 -3/4
      b+1/8= 3,76 ; c^3 -3/4*c+1/8 = -823,41

    2.a) établir que pour tout x,
    sin(8x)=8sinxcosxcos(2x)cos(4x)
    Alors là pour sa je suis totalement bloqué je n'y arrive pas du tout, j'ai éssayé toutes les formules et je bloque..

    b) en donnant à x une valeur bien choisie, établir que abc=-1/8

    3.a)démontrer que a= cos(5pipi/9)cos(pipi/3)+sin(5pipi/9)sin(pipi/3) et que
    c= cos(5pipi/9)cos(pipi/3)-sin(5pipi/9)sin(pipi/3)
    Pour cette question j'ai réussi sa va..

    b) en déduire une valeure de a+c, puis de a+b+c
    La par contre, je ne sais pas comment faire pour le b

    1. a) démontrer que a²+b²+c²=(1+b)/2 + (1+c)/2 + (1+a)/2. En déduire que a²+b²+c² =3/2
      J'ai réussi à démontrer mais pour la déduction je ne comprends pas comment faire

    2. a) Soit P, le polynome défini par P(x)=(x-a)(x-b)(x-c), autrement dit un polynome ayant a b et c pour racines.
      EN le développant montrer que : P(x) =x^3 -3/4*x+1/8
      Cela est fait, j'ai réussi.

    b) En calculant P(1), avec chacune des formes de P(x), établir que
    sin(pipi/9)sin(2pipi/9)sin(4pipi/9) = sqrtsqrt3)/8
    RIEN COMPRIS !

    c) en déduire que sin(5pipi/9)sin(7pipi/9)sin(8pipi/9) = sqrtsqrt3)/8
    Je n'ai pas réussi étant donné que je n'ai pas su faire la précédente.

    d) Calculer la valeure exacte du produit :
    A=sinpipi/9sin(2pipi/9)sin(3pipi/9)....sin(6pipi/9)sin(7pipi/9)sin(8pipi/9

    Je vous remercie de votre aide, car je suis vraiment perdue, c'est affolant je ne comprends pas, je bloque...



  • La formule pour la question 1 est sin(2u) = 2sin(u) cos(u), dont on fait usage plusieurs fois.

    sin(8x) = sin(2(4x))

    = 2 sin(4x) cos(4x)

    = 2 sin(2(2x)) cos(4x)

    = ... etc.


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