Démontrer des égalités sur des produits scalaires



  • Bonjour, il y a un exercice dont je n'arrive pas à faire. Merci d'y jeter un coup d'oeil.

    A.1) A B C sont trois points distincts non alignés. Démontrez que le seul vecteur ^\rightarrow u tel que ^\rightarrow u.^\rightarrow AB = 0 et ^\rightarrow u.^\rightarrow BC= 0 est le vecteur nul.

    1. OBC est un triangle isocèle en O. Démontrez que (^\rightarrow OB+^\rightarrow OC).^\rightarrow BC=0 [1]

    b. ABC est un traingle, C son cercle circonscrit de centre O, H son orthocentre et G son centre de gravité.

    1. a) En utilisant la relation [1] et ^\rightarrow HO+^\rightarrow OA=^\rightarrow HA,
      démontrez que :
      (^\rightarrow HO+^\rightarrow OA+^\rightarrow OB+^\rightarrow OC).^\rightarrow BC=0.

    b) Démontez que même que :
    (^\rightarrow HO+^\rightarrow OA+^\rightarrow OB+^\rightarrow OC).^\rightarrow AB=0.

    En utilisant A.1), déduisez-en que :
    ^\rightarrow OH=^\rightarrow OA+^\rightarrow OB+^\rightarrow OC.

    1. a) En tenant compte de ^\rightarrow GA+^\rightarrow GB+^\rightarrow GC=^\rightarrow 0, démontrez que :
      ^\rightarrow OA+^\rightarrow OB+^\rightarrow OC=3^\rightarrow OG.

    b) Déduisez des questions précédentes que O, H et G sont trois points alignés. Cette droite est appelée droite d'Euler du triangle ABC.



  • Bonjour,

    et dans tout cela tu as bien commencé et trouvé quelques réponses ... Tu nous les indiques et tu nous informes des questions qui te posent souci.

    A plus



  • Je bloque déjà à la première question.



  • Salut.

    A, B et C forment un repère.
    u^\rightarrow se décompose sur la base (AB^\rightarrow ; BC^\rightarrow)
    u^\rightarrow = x AB^\rightarrow + y BC^\rightarrow.
    Or, x = u^\rightarrow.AB^\rightarrow et y u^\rightarrow.AB^\rightarrow ...

    Tu peux finir.



  • ah oui c'était tout bête. Merci, je me débrouillerai toute seule pour la suite



  • Bonjour, je n'arrive pas à en déduire que :

    ^\rightarrow OH=^\rightarrow OA+^\rightarrow OB+^\rightarrow OC

    Merci pour votre aide (que ferai-je sans vous )



  • Si tu nommes u^\rightarrowle vecteur HO^\rightarrow+ OA^\rightarrow+ OB^\rightarrow+ OC^\rightarrow,
    alors tu vois que u^\rightarrow. BC^\rightarrow = 0^\rightarrow = u^\rightarrow.AB^\rightarrow.

    Ce que tu as prouvé à la question A1 te permet de conclure.



  • Merci



  • fifie semble avoir des difficultés à comprendre la solution de Zauctore..

    Si u^\rightarrow a pour coordonnées (x ; y) dans un repère (O , i^\rightarrow ; j^\rightarrow) alors on a

    x = u^\rightarrow. i^\rightarrow et y = u^\rightarrow. j^\rightarrow [je pense que c'est cela qui posait souci]

    en effet
    u^\rightarrow a pour coordonnées (x ; y) dans le repère (O ; i^\rightarrow , j^\rightarrow)
    i^\rightarrow a pour coordonnées (1 ; 0) dans le repère (O ;i^\rightarrow , j^\rightarrow)
    j^\rightarrow a pour coordonnées (0 ; 1) dans un repère (O ; i^\rightarrow , j^\rightarrow)

    donc u^\rightarrow. i^\rightarrow = x1 + y0 par définition du produit scalaire

    donc u^\rightarrow. j^\rightarrow = x0 + y1 par définition du produit scalaire

    Cela est donc valable dans tous les repères donc dans (A ; AB^\rightarrow , AC^\rightarrow)

    C'est plus clair ? Y-a-t-il d'autres questions qui te posent souci ?



  • (pliée en deux, oui les maths et moi ca fait deux)
    Merci cela me semble très clair, je n'ai pas d'autres questions à poser (du moins pour l'instant).
    🆒



  • fifie...



  • 😡 bof bof bof 😡

    moi je signe mes messages ....



  • ...


 

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