Démontrer des égalités sur des produits scalaires


  • E

    Bonjour, il y a un exercice dont je n'arrive pas à faire. Merci d'y jeter un coup d'oeil.

    A.1) A B C sont trois points distincts non alignés. Démontrez que le seul vecteur →^\rightarrow u tel que →^\rightarrow u.→^\rightarrow AB = 0 et →^\rightarrow u.→^\rightarrow BC= 0 est le vecteur nul.

    1. OBC est un triangle isocèle en O. Démontrez que (→^\rightarrow OB+→^\rightarrow OC).→^\rightarrow BC=0 [1]

    b. ABC est un traingle, C son cercle circonscrit de centre O, H son orthocentre et G son centre de gravité.

    1. a) En utilisant la relation [1] et →^\rightarrow HO+→^\rightarrow OA=→^\rightarrow HA,
      démontrez que :
      (→^\rightarrow HO+→^\rightarrow OA+→^\rightarrow OB+→^\rightarrow OC).→^\rightarrow BC=0.

    b) Démontez que même que :
    (→^\rightarrow HO+→^\rightarrow OA+→^\rightarrow OB+→^\rightarrow OC).→^\rightarrow AB=0.

    En utilisant A.1), déduisez-en que :
    →^\rightarrow OH=→^\rightarrow OA+→^\rightarrow OB+→^\rightarrow OC.

    1. a) En tenant compte de →^\rightarrow GA+→^\rightarrow GB+→^\rightarrow GC=→^\rightarrow 0, démontrez que :
      →^\rightarrow OA+→^\rightarrow OB+→^\rightarrow OC=3→^\rightarrow OG.

    b) Déduisez des questions précédentes que O, H et G sont trois points alignés. Cette droite est appelée droite d'Euler du triangle ABC.


  • Zorro

    Bonjour,

    et dans tout cela tu as bien commencé et trouvé quelques réponses ... Tu nous les indiques et tu nous informes des questions qui te posent souci.

    A plus


  • E

    Je bloque déjà à la première question.


  • Zauctore

    Salut.

    A, B et C forment un repère.
    u→^\rightarrow se décompose sur la base (AB→^\rightarrow ; BC→^\rightarrow)
    u→^\rightarrow = x AB→^\rightarrow + y BC→^\rightarrow.
    Or, x = u→^\rightarrow.AB→^\rightarrow et y u→^\rightarrow.AB→^\rightarrow ...

    Tu peux finir.


  • E

    ah oui c'était tout bête. Merci, je me débrouillerai toute seule pour la suite


  • E

    Bonjour, je n'arrive pas à en déduire que :

    →^\rightarrow OH=→^\rightarrow OA+→^\rightarrow OB+→^\rightarrow OC

    Merci pour votre aide (que ferai-je sans vous )


  • Zauctore

    Si tu nommes u→^\rightarrowle vecteur HO→^\rightarrow+ OA→^\rightarrow+ OB→^\rightarrow+ OC→^\rightarrow,
    alors tu vois que u→^\rightarrow. BC→^\rightarrow = 0→^\rightarrow = u→^\rightarrow.AB→^\rightarrow.

    Ce que tu as prouvé à la question A1 te permet de conclure.


  • E

    Merci


  • Zorro

    fifie semble avoir des difficultés à comprendre la solution de Zauctore..

    Si u→^\rightarrow a pour coordonnées (x ; y) dans un repère (O , i→^\rightarrow ; j→^\rightarrow) alors on a

    x = u→^\rightarrow. i→^\rightarrow et y = u→^\rightarrow. j→^\rightarrow [je pense que c'est cela qui posait souci]

    en effet
    u→^\rightarrow a pour coordonnées (x ; y) dans le repère (O ; i→^\rightarrow , j→^\rightarrow)
    i→^\rightarrow a pour coordonnées (1 ; 0) dans le repère (O ;i→^\rightarrow , j→^\rightarrow)
    j→^\rightarrow a pour coordonnées (0 ; 1) dans un repère (O ; i→^\rightarrow , j→^\rightarrow)

    donc u→^\rightarrow. i→^\rightarrow = x1 + y0 par définition du produit scalaire

    donc u→^\rightarrow. j→^\rightarrow = x0 + y1 par définition du produit scalaire

    Cela est donc valable dans tous les repères donc dans (A ; AB→^\rightarrow , AC→^\rightarrow)

    C'est plus clair ? Y-a-t-il d'autres questions qui te posent souci ?


  • E

    (pliée en deux, oui les maths et moi ca fait deux)
    Merci cela me semble très clair, je n'ai pas d'autres questions à poser (du moins pour l'instant).
    🆒


  • E

    fifie...


  • Zorro

    😡 bof bof bof 😡

    moi je signe mes messages ....


  • E

    ...


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