produit scalaire et quadrilatère

[Serafin]

Bonjour à tous voilà une petite prise de tête qui me pose problème depuis une semaine:
montrer que pour tout quadrilatère ABCD on a,
2AC${}^{\to }$ . DB${}^{\to }$ =AB^2 +CD^2 -BC^2 -AD^2
Le gros problème c'est que je n'arrive pas à transformer le produit scalaire enfin je pense que c'est par là qu'il faut commencer.

de plus question n°2
En déduire que les diagonales (AC) et (BD) sont perp/ ssi:
AB^2 +CD^2 =BC^2 +AD^2
et là je comprends pas l'écriture est-ce que l'on devrai pas plutot écrire
AB^2= CD^2= BC^2 =AD^2

and dernière question qui là n'a rien avoir avec l'exercice
le livre cite à propos d'un autre exercice AO^2 =(AH${}^{\to }$ +HO${}^{\to }$ )^2
comment une longeur(norme) peut t'elle être égale au carré de la somme de deux vecteurs.
voilà sa fait une semaine que je nage, je pensais pouvoir y arriver tout seul mais je crois qu'en fait non, si quelqu'un pouvais m'aider je lui en serai éternellement reconnaisant (j'aime bien, sa fait un peu pompeux)
sans plésenter je remercie tut ceux qui se pencherons sur mon problème

[Zorro]

Bonsoir,

après un regard très large je pense que le début est un application de Al-kashi et autre théorème des médianes

pour
$(AO$^\rightarrow${)}^2$ = $(A{H}^{\to }$+ $HO$^\rightarrow${)}^2$

il suffit juste d'appliquer la relation de Chasles qui dit que

$A{O}^{\to }$ = $A{H}^{\to }$ + $H{O}^{\to }$

donc il faut faire un simple remplacement de $A{O}^{\to }$ par $A{H}^{\to }$ + $H{O}^{\to }$ dans
$(AO$^\rightarrow${)}^2$ = (...${}^{\to }$ + ...$$^\rightarrow$)^2$

on aurait pu écrire aussi
$A{O}^{\to }$ = $A{B}^{\to }$ + $B{O}^{\to }$
$A{O}^{\to }$ = $A{K}^{\to }$ + $K{O}^{\to }$
$A{O}^{\to }$ = $A{D}^{\to }$ + $D{O}^{\to }$
$A{O}^{\to }$ = $A{M}^{\to }$ + $M{O}^{\to }$ etc ... on utilise l'expression qui va être profitable dans la suite de l'exercice en fonction de la question posée
si on doit calculer $A{O}^{\to }$ en fonction de $A{B}^{\to }$ on utilise $A{O}^{\to }$ = $A{B}^{\to }$ + $B{O}^{\to }$

[Serafin]

AO N'EST PAS UN VECTEUR c'est une longeur d'ou mon incompréhension
est-ce que tu pourrai dévelloper pour AL-kashi j'en est jamais entendu parler

[Zorro]

pour $A{O}^2$ = (AH $+HO{)}^2$

c'est une question de définition

$O{A}^2$ = $(OA$^\rightarrow${)}^2$

Et pour $2A{C}^{\to }$ . $D{B}^{\to }$ = $A{B}^2$ + $C{D}^2$ - $B{C}^2$ - $A{D}^2$

il suffit d'appliquer la relation de Chasles

$2A{C}^{\to }$ . $D{B}^{\to }$ = $2(A{B}^{\to }$ + $B{C}^{\to }$) . $(D{C}^{\to }$ + $C{B}^{\to }$)

[Serafin]

non, je m'exprime mal désolé mais la phrase qui est écrite dans le livre est
on considerera que AO ^2 =(AH${}^{\to }$ +HO${}^{\to }$ )^2
comment une longueur peut etre égale à une somme de vecteur?

[Zorro]

$(A{H}^{\to }$ + $HO$^\rightarrow${)}^2$ n'est pas la somme de 2 vecteurs c'est le produit scalaire de $(A{H}^{\to }$+ $H{O}^{\to }$) par $(A{H}^{\to }$+ $H{O}^{\to }$)

ce qui est le même résultat que la produit scalaire de $A{O}^{\to }$ par $A{O}^{\to }$ soit
$(AO$^\rightarrow${)}^2$ = $A{O}^2$

[Serafin]

ok merci je pense que j'ai compris, si j'ai d'autres soucis je laisserai un post
merci beaucoup et bon week end