petite comparaisons sans calculs



  • bonjour, j'ai un petit problème avec cet exercice, je ne sais pas comment m'y prendre.. si vous voulez bien jetez un coup d'oeil,

    sans les calculer, comparez A et B:
    A=[(1.119)² + 1.119+1]/[(1.119)²+1]
    B= [(1.118)²+1.118+1]/[(1.118)²+1]

    merci d'avance, votre choupi



  • Salut choupinette.

    Avec f(x) = (x² + x + 1)/(x² + 1), et avec sa dérivée f '...

    on a A - B = f(1,119) - f(1,118) env= 0,001foi/ f '(1,118)

    il suffit de connaître le signe de la dérivée en cette valeur ;
    or f(x) = x/(x² +1) + 1 se dérive en f '(x) = [1 - x²] / (x² +1)²,
    dérivée qui est négative pour x = 1,118.

    Conclusion ?



  • Enfet, j'ai pas encore tout à fait compris, je dois vraiment avoir un problème avec les maths...


  • Modérateurs

    Salut Choupinette,
    Il faut que tu cherches dans ton cours "approximation affine". Cherche l'approximation affine de f(1,119) au voisinage de 0,118 et tu auras l'approximation que te proposes Zauctore.

    Sinon tu peux aussi faire 2 approximations affines au voisinage de 1,12.

    Tiens compte du fait que la dérivée est négative.
    ++

    PS : j'ai effacé le post de Gaussfutur dont le raisonnement était faux.


  • Modérateurs

    En fait ... même pas besoin de l'approximation affine ...

    Il te suffit de savoir que ta fonction est décroissante. (Voir la définition de "décroissante" vue en seconde).

    ++



  • Alors pour rendre un petit peu plus claire mon intervention, choupinette, voici un petit complément :
    la différence de deux valeurs d'une fonction f(u) - f(v) est, sous certaines conditions, très proche de (u - v) foi/ f '(v). Il faut pour cela que f soit dérivable en v et que u soit un nombre proche de v. Graphiquement, cela se voit bien avec une sécante proche d'une tangente à une courbe :

    http://pix.nofrag.com/ab/33/f0e39543634d78d3b82e3b20c3e7.jpeg

    Sur cette figure, U(u, f(u)) et V(v, f(v). La différence f(u) - f(v) mesure l'écart en ordonnée entre U et V. Alors, si U et V ont des abscisses suffisament proches, cette différence est approximativement proportionnelle à u - v, le coefficient de proportionnalité étant f '(v).

    Remarque: Thierry a parlé d'approximation affine ; c'est l'écriture f(u) env= (u - v)f '(v) + f(v).


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