le carré d'un nombre pair est un nombre pair



  • bonjour je dois prouver que racine de 2 est irrationel, cela est fait mais le seul problème c'est que dans mon raisonnement j'ai utilisé le fait que si m^2 est un multiple de 2, alors m est aussi un multiple de 2
    cela me parait évident comme résultat mais je ne sais pas comment le démontrer vraiment
    si vous pouviez m'aider ....
    merci d'avance


  • Modérateurs

    Bonjour Kleina,
    Je te propose un raisonnement par l'absurde : m² est pair mais supposons que m soit impair. Tu monteras facilement que si m est impair alors m² l'est aussi ce qui en contradiction avec l'hypothèse de départ.

    A bientôt !



  • si m^2 est un multiple de 2, alors m est aussi un multiple de 2.
    Je ne vois pas comment on peut démontrer une proposition fausse.

    si on prend un nombre est pair alors son carré est pair. suis ok
    si un nombre est impair son carré est impair. suis ok cela se montre bien
    mais de là à passer à :
    si un carré est pair alors sa racine l'est forcément !!!
    contrex avec racine de deux. racine de deux est paire ?
    si un nombre est impair sa racine l'est.
    Contrex avec -1 le carré de i nombre complexe. i est donc impair ?
    Il suffit de l'écrire ainsi pour voir que c'est idiot d'autant plus que c'est ce lemme qui sert prouver que racine de deux est irrationnel donc à priori ni pair, ni impair (on retrouve cette démo sur le site).
    Comment combler la faille dans la démo ????
    Cela m'embete d'autant plus que j'ai lu, fait appris cette démo plusieurs fois avant d'en arriver à la conclusion qu'elle était fallacieuse.
    Où est ce que que me trompe ?
    Ou est ce que je ne me trompe pas ?
    Q'en pensez vous ?
    Dans l'attente d'une réponse...
    Mat


  • Modérateurs

    oufmat

    si un carré est pair alors sa racine l'est forcément !!!
    Ce n'est pas de cela dont il s'agit.

    kleina
    si m^2 est un multiple de 2, alors m est aussi un multiple de 2



  • Thierry, ta démonstration par l'absurde(celle proposée à Kleina) suppose qu'un nombre soit soit pair, soit impair.

    Ce qui est vrai sur Z mais sur Q alors ?
    Ne parlons même pas de R ou de C.
    Je reprend la démo de Zorro dans les grandes lignes.
    i) si a est pair son carré aussi.
    ii) si a est impair son carré aussi.
    conclusion :
    "avec ces deux démonstration on a bien montré que" :

    a est pair si et seulement si son carré l'est.

    Ce qui est totalement en portafaux avec le fait que l'on s’intéresse au nombre dont le carré est deux(un nombre pair).
    Si la proposition énoncé plus haut est vraie est alors racine de deux est pair.
    Même plus besoin d'aller plus loin non ?

    Sauf que 2 est pair et n'est pas le carré d'un nombre pair.
    Cela me semble indéniable...


  • Modérateurs

    Il s'agit d'un carré pair, pas de n'importe quel entier pair.

    2 n'est pas un carré.



  • Bonjour,

    Il faut bien entendu se placer dans mathbbZmathbb{Z} pour parler de parité ...

    D'ailleurs ma démonstration commence par :

    Si a, entier relatifest pair alors .....

    Il aurait peut-être en effet plus rigoureux de conclure :

    Dans mathbbZmathbb{Z}, a est pair si et seulement si son carré l'est.



  • Quoique .... On pourrait définir la parité dans mathbbQmathbb{Q} , mathbbRmathbb{R} , ou mathbbCmathbb{C}

    en disant :

    qu'un nombre x de ces ensembles est pair s'il est multiple de 2 donc qu'il existe un entier relatif k tel x = 2k donc x ∈ mathbbZmathbb{Z} ....

    qu'un nombre x de ces ensembles est impair s'il est la somme d'un multiple de 2 et de 1
    donc qu'il existe un entier relatif k tel x = 2k + 1 donc x ∈ mathbbZmathbb{Z} ....

    Mais dans mathbbQmathbb{Q} , mathbbRmathbb{R} , ou mathbbCmathbb{C} il y a des nombres qui sont ni pairs ni impairs !



  • ça y'est j'ai compris, merci Zorro et Thierry.
    Oui Zorro, ta démo est parfaite !
    Ce qui prête à confusion c'est que l'on suppose l'existence de deux entiers, p et q, tout en sachant qu'ils n'existent pas.
    Du coup ça m'a embrouillé...
    On se place dans Z pour définir Q et montrer que c'est pas sur Q mais R.
    Mais p et q sont bien deux entiers, premiers entres eux, par définition d'une fraction irréductible.
    Jusqu'à ce qu'on montre que non, en fait p et q ne le sont pas (entiers peut être mais pas premiers entre eux)...
    Enfin, du coup j'ai compris.
    Merci
    Pour moi sur un corps tout est multiple de tout sauf zéro, enfin si je me rappelle encore...


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