Montrer qu'une fonction trigonométrique est périodique et déterminer ses extremums

[cassandra]

Bonsoir,

voila je suis sur un exercice que j'ai du mal à comprendre. J'aimerais avoir quelques indications pour déterminer la seconde partie.
merci d'avance

On considère la fonction f définie sur R par:

f(x)= (2 sin x) / ( 2 + sin x)

1°. Vérifier que f est péridique de période 2$pi$

f(x+2$pi$)= ( 2 sin(x+2$pi$) ) / ( 2+ sin(x+2$pi$) ) = f(x)

Donc f est une fonction périodique de période 2$pi$.

2°. Déterminer les extremums de f sur l'intervalle [-$pi$;$pi$]

là je ne vois pas comment faire

[Thierry]

Bonsoir Cassandra,
Peux-tu me donner la dérivée de f que tu trouves ?

[cassandra]

Je trouve:
f'(x) = [ 2.sin x.cos x.(1+4cos x) ] / (2 + sin x)²
f'(x) = [ sin2x(1+4cos x) ] / (2 + sin x)²

Mais comment peut-on définir les extremums? en étudiant le signe?

[Thierry]

Oui. En étudiant le signe de la dérivée et en faisant le tableau des variations de la fonction. Alors les extrema devraient t'apparaître clairement. (En fait il faut que la dérivée s'annule et change de signe).

Je n'ai pas vérifié le calcul de ta dérivée mais j'ai un doute à cause du (1+4cos x). Car normalement, tu ne connais pas de valeur exacte de x permettant d'annuler ce facteur. Je te conseille donc de revérifier ton calcul.

Le signe de la dérivée se déduit du signe de chacun des facteurs. Et le signe de chacun d'eux en posant des inéquations >0 et en réfléchissant sur le cercle trigonométrique ... Il te sera plus aisé je pense de réfléchir au signe de 2.sin x.cos x plutôt qu'à celui de sin2x.

Bon courage, reviens nous dire si ça bloque quelque part

[kevin59760]

d'ou proviens ce (1+4cosx)???

En ce qui concerne la dérivé moi je trouve
f'(x) = (u'v - uv')/ v²
avec u= 2sinx
u'= 2cosx
v= 2 + sin x
v'= cos x

donc

[(2cosx)(2+sinx) - (2sinx)(cosx)] / (2 + sinx)²
= [ 4cosx + 2cosx.sinx - 2sinx.cosx] / (2 + sinx)²
=(4cosx)/(2 + sinx)²

non????

(2+sinx)² >= 0 donc c'est du signe de 4cos x!!!!

ensuite fais ton tableau de variations et tu trouveras ce que tu cherche

@+ _____________________________________________________
ce que je dis est a vérifier bien entendu....

[cassandra]

En effet, en vérifiant mon calcul, j'ai pu remarqué une erreur de signe au numérateur, ce qui a tout changé. En le reprenant, j'ai donc bien trouvé:

f'(x)=(4cos x) / (2+sin x)² (comme kévin)

Ensuite j'ai étudié le signe de 4cos x:
4cos x>=0
cos x>=0

donc -$pi$/2 + 2k$pi$ <= x <= $pi$/2 + 2k$pi$

après, c'est dans mon tableau de variations que j'ai des difficultés. C'est le fait qu'il y ait cos et sin qui font que j'arrive pas. Pourtant ,ça a l'air simple! Même en (re)relisant mon cours et mes exos, je ne comprends toujours pas!

[Thierry]

Bonsoir,
Comme te le dit Kevin, la dérivée est du signe de cos x puisque le dénominateur est positif.

Tu as donc bien le signe de la dérivée entre -$pi$ et $pi$, non ?
Alors le tableau des variations doit aller tout seul, non ?

[cassandra]

f'(x) est du signe de cos x donc
f est croissante sur l'intervalle [-$pi$;$pi$/2 + 2k$pi$] avec k app/ Z
et décroissant sur l'intervalle [$pi$/2 + 2k$pi$; $pi$].

f( $pi$/2)=(2*1)/(2+1)=2/3
2/3 est le maximum

mais le minimum, je sais qu'il est égale à -2, mais avec mes calculs je ne trouve pas ça.

[cassandra]

Non, en fait c'est bon. J'ai trouvé le minimum.

J'ai fait:
f($pi$)=(2*(-1)) / (2-1)=-2

Et je pense avoir réussi mon tableau de variations

Mes résultats sont-ils corrects?

[Thierry]

A toi Kevin ...

[kevin59760]

merci thierry!! pour vérifier tes résultats sans l'aide de personne il existe une seule solutions!!

la calculatrice trace la courbe et tu trouveras les reponses à tes questions

bonnes réponses thierry???

[kevin59760]

[kevin59760]

désolé pour f mais je n'ai pas réussi a l'écrire sans faire un rectangle lol! sa fais fashion

[kevin59760]

pour la courbe tu dois avoir cela!

[kevin59760]