Boule dans l'eau



  • Bonjour à tous

    Voici mon exo
    Une boîte cylindrique de rayon 12 cm contient de l’eau jusqu’à une hauteur de 5 cm. On
    immerge une boule métallique dans ce récipient et on constate que la surface de l’eau est
    tangente à la boule. On désigne par x le rayon de la boule en millimètre.

    1. a) Démontrer que 25 ≤ x ≤ 120.

    je bloque déjà sur la première question
    pouvez vous m aider
    merci à vous


  • Modérateurs

    Bonjour TOURTOIS62,

    Pour pouvoir être mise dans la boîte, la boule doit avoir un rayon inférieur ou égal à .....
    L'eau est tangente à la boule, donc en tenant compte de la hauteur de l'eau, le rayon de la boule doit être supérieur ou égal à ......

    Attention aux unités, x est en millimètre !



  • bonjour

    le rayon du cylindre = 12cm donc 120 mm
    donc le rayon de la boule doit être inférieure ou égale à 120
    la hauteur de l'eau est de 5cm soit 50mm
    donc le rayon de la boule doit être supérieur à 25mm (25*2 =50mm)


  • Modérateurs

    C'est correct.



  • donc je n'ai que cela à indiquer pour cette question


  • Modérateurs

    Oui, c'est suffisant.



  • ensuite on me demande de démontrer que dans l'intervalle [25;120] l'équation admet une unique solution a
    Equation E(x)^3-21600x+540000=0

    là je ne vois pas


  • Modérateurs

    Fais l'étude des variations de la fonction.



  • E)' = 3x² - 21 600

    ensuite je calcule delta : delta = b²-4ac = 0²-43-21 600 = 259 200 donc 2 racines.

    X1 = (-b- √ delta)/2a = (-0-√259200)/2*3 = -84,853

    X1 = (-b- √ delta)/2a = (-0+√259200)/2*3 = 84,853

    ainsi on peut faire le tableau de variation et tout ça :

    X -∞ -84.853 84.853 +∞

    (E)' + 0 - 0 +

    (E) 1761880.5 ? +∞

             -∞          ?                                            -681880,5     ?
    

    et c'est là que j'essaie de faire intervenir le TVI, on doit avoir les intervaux [25.6;26] et [125;135], ces intervaux sont bien "corrects" mais je ne sais pas comment réduire les intervaux que j'ai trouvé : [-84.853;84.853] et [84.853;+∞], ils sont bien plus grands et inexactes. De plus, il y a l'air d'avoir une solution supplémentaire dans [-∞;-84.853], donc j'ai l'impression de m'être trompé.


  • Modérateurs

    x est le rayon de la boule donc x ≥ 0.
    Tu fais l'étude de la fonction sur [0 ; +\infty[
    Pour la valeur positive qui annule la dérivée, cherche la valeur exacte.
    E'(x) = 3(x2x^2 - 7200)
    Pour E'(x) = 0, x = ±7200\sqrt{7200} et 7200\sqrt{7200}=602\sqrt{2}



  • je ne comprends pas du tout



  • J'avais écrit cela : Veau + Vboule = V'eau

    Soit 720pi + 4/3 pi.10^-3.x^3 = 28,8pi.x
    on simplifie par pi et on multiplie tout par 10^3 :
    720000 + (4/3)x^3 - 28800x = 0
    On multiplie tout par 3/4 :
    540000 + x^3 - 21600x = 0
    on va poser x^3 - 21600x + 540000 = f(x)
    Dérivée : f'(x) = 3x^2 - 21600
    S'annule pour x^2 = 21600/3, soit x = racine(7200) = environ 84,8 mm.

    Est négative sur [0,racine(7200)[, donc fonction décroissante.

    Est positive sur ]racine(7200), 60[, donc fonction croissante.
    120 mm correspondant à la hauteur du cylindre, 60=120/2 est la valeur maximale de x.


  • Modérateurs

    Le début est correct.
    Il faudrait peut être justifier pourquoi tu multiplies par 1000.
    Pour racine de 7200 tu peux écrire 60 racine de 2 car
    7200 = 60 x 60 x 2

    120 mm n'est pas la hauteur du cylindre mais le rayon maximal de la boule.



    • le rayon de la boule en cm est 0,1x et pas 10

    que dois je faire ensuite pour celle-ci

    ma prochaine question est de justifier que €[25,26]


  • Modérateurs

    Complète la prochaine question, il faut justifier .....



  • est décroissante sur [0, 84,8[ et on a f(25)>0 et f(26)<0. Donc il existe une valeur de x appartenant à ]25, 26[, tel que f(x)=0


  • Modérateurs

    Oui,
    Et sur l'autre intervalle [84,8 ; 120] ?



  • non pas de valeur de x appartenant à l'intervalle 84.8;120


  • Modérateurs

    Oui, mais il faut justifier.



  • est croissante sur l'autre intervalle [84,8 ; 120] donc il ne peut pas avoir de valeur de x appartenant à cet intervalle pour a €[25.26]



  • On a vu que x max = 60. Donc on élimine la 2nde solution qui appartient à ]84.8;120[.

    Et on conclue donc que x = 26 à 1mm près


  • Modérateurs

    La fonction est croissante sur l'intervalle [84,8 ; 120] et f(x) varie sur quel intervalle ?
    L'intervalle [25;26] est une donnée de l'énoncé ?

    Comment trouves tu max = 60 ?



  • x max = 60 pour 120/2
    je bloque


  • Modérateurs

    Non,
    La fonction est décroissante puis croissante.
    Cherche sur quel domaine varie f(x) pour f croissante.



  • est décroissante sur [0, 84,8[ et est croissante sur [84,8 ; 120]
    f(x) varie dans l'intervalle [0, 84,8[


  • Modérateurs

    Calcule f(0), f(84,8) et f(120).



  • Bonsoir et merci à vous pour votre aide


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