Boule dans l'eau

Bonjour à tous

Voici mon exo
Une boîte cylindrique de rayon 12 cm contient de l’eau jusqu’à une hauteur de 5 cm. On
immerge une boule métallique dans ce récipient et on constate que la surface de l’eau est
tangente à la boule. On désigne par x le rayon de la boule en millimètre.

a) Démontrer que 25 ≤ x ≤ 120.

je bloque déjà sur la première question
pouvez vous m aider
merci à vous

Bonjour TOURTOIS62,

Pour pouvoir être mise dans la boîte, la boule doit avoir un rayon inférieur ou égal à .....
L'eau est tangente à la boule, donc en tenant compte de la hauteur de l'eau, le rayon de la boule doit être supérieur ou égal à ......

Attention aux unités, x est en millimètre !

bonjour

le rayon du cylindre = 12cm donc 120 mm
donc le rayon de la boule doit être inférieure ou égale à 120
la hauteur de l'eau est de 5cm soit 50mm
donc le rayon de la boule doit être supérieur à 25mm (25*2 =50mm)

C'est correct.

donc je n'ai que cela à indiquer pour cette question

Oui, c'est suffisant.

ensuite on me demande de démontrer que dans l'intervalle [25;120] l'équation admet une unique solution a
Equation E(x)^3-21600x+540000=0

là je ne vois pas

Fais l'étude des variations de la fonction.

E)' = 3x² - 21 600

ensuite je calcule delta : delta = b²-4ac = 0²-43-21 600 = 259 200 donc 2 racines.

X1 = (-b- √ delta)/2a = (-0-√259200)/2*3 = -84,853

X1 = (-b- √ delta)/2a = (-0+√259200)/2*3 = 84,853

ainsi on peut faire le tableau de variation et tout ça :

X -∞ -84.853 84.853 +∞

(E)' + 0 - 0 +

(E) 1761880.5 ? +∞

         -∞          ?                                            -681880,5     ?

et c'est là que j'essaie de faire intervenir le TVI, on doit avoir les intervaux [25.6;26] et [125;135], ces intervaux sont bien "corrects" mais je ne sais pas comment réduire les intervaux que j'ai trouvé : [-84.853;84.853] et [84.853;+∞], ils sont bien plus grands et inexactes. De plus, il y a l'air d'avoir une solution supplémentaire dans [-∞;-84.853], donc j'ai l'impression de m'être trompé.

x est le rayon de la boule donc x ≥ 0.
Tu fais l'étude de la fonction sur [0 ; + $∞\infty$ [
Pour la valeur positive qui annule la dérivée, cherche la valeur exacte.
E'(x) = 3( $x^2$ - 7200)
Pour E'(x) = 0, x = ± $7200\sqrt{7200}$ et $7200\sqrt{7200}$ =60 $2\sqrt{2}$

je ne comprends pas du tout

J'avais écrit cela : Veau + Vboule = V'eau

Soit 720pi + 4/3 pi.10^-3.x^3 = 28,8pi.x
on simplifie par pi et on multiplie tout par 10^3 :
720000 + (4/3)x^3 - 28800x = 0
On multiplie tout par 3/4 :
540000 + x^3 - 21600x = 0
on va poser x^3 - 21600x + 540000 = f(x)
Dérivée : f'(x) = 3x^2 - 21600
S'annule pour x^2 = 21600/3, soit x = racine(7200) = environ 84,8 mm.

Est négative sur [0,racine(7200)[, donc fonction décroissante.

Est positive sur ]racine(7200), 60[, donc fonction croissante.
120 mm correspondant à la hauteur du cylindre, 60=120/2 est la valeur maximale de x.

Le début est correct.
Il faudrait peut être justifier pourquoi tu multiplies par 1000.
Pour racine de 7200 tu peux écrire 60 racine de 2 car
7200 = 60 x 60 x 2

120 mm n'est pas la hauteur du cylindre mais le rayon maximal de la boule.

le rayon de la boule en cm est 0,1x et pas 10

que dois je faire ensuite pour celle-ci

ma prochaine question est de justifier que €[25,26]

Complète la prochaine question, il faut justifier .....

est décroissante sur [0, 84,8[ et on a f(25)>0 et f(26)<0. Donc il existe une valeur de x appartenant à ]25, 26[, tel que f(x)=0

Oui,
Et sur l'autre intervalle [84,8 ; 120] ?

non pas de valeur de x appartenant à l'intervalle 84.8;120

Oui, mais il faut justifier.

est croissante sur l'autre intervalle [84,8 ; 120] donc il ne peut pas avoir de valeur de x appartenant à cet intervalle pour a €[25.26]

On a vu que x max = 60. Donc on élimine la 2nde solution qui appartient à ]84.8;120[.

Et on conclue donc que x = 26 à 1mm près

La fonction est croissante sur l'intervalle [84,8 ; 120] et f(x) varie sur quel intervalle ?
L'intervalle [25;26] est une donnée de l'énoncé ?

Comment trouves tu max = 60 ?

x max = 60 pour 120/2
je bloque

Non,
La fonction est décroissante puis croissante.
Cherche sur quel domaine varie f(x) pour f croissante.

est décroissante sur [0, 84,8[ et est croissante sur [84,8 ; 120]
f(x) varie dans l'intervalle [0, 84,8[

Calcule f(0), f(84,8) et f(120).

Bonsoir et merci à vous pour votre aide