Fonction cube stricte croissance

Bonjour à tous,
voici l'exercice un peu étrange sur lequel j'ai un peu de mal i:
On a démontré en première que la fonction cube est strictement croissante sur ℝ.
Ceci peut se traduire par : u<v ⇒ u^3<v^3 (u et v réels)
La réciproque est-elle vraie ? Justifiez.
Merci d'avance

Bonjour Unsalsitriops,

A partir de l'inégalité $u^3$ < $v^3$ équivalente à $u^3$ - $v^3$ <0
factorise le membre de gauche et vérifie si cela induit la relation u < v.

@noemi
Merci beaucoup ca m'a l'ai d'une solution cohérente qui doit fonctionner, je la testerais demain parce que je vais devoir y aller

@unsalsitriops

Bien, donc éventuellement à demain si tu as besoin d'aide.

Effectivement,
lorsque je factorise je trouve (u-v).(u²+uv+v²)<0
A partir de la je sais pas trop comment opérer :
Pour montrer que u<v il faudrait montrer que u-v<0 soit que u²+uv+v²>0, je sais pas le prouver

ah je crois avoir trouvé
il faudrait la factorisation de l'autre sens je pense
ce qui induit à v3-u3>0
ce qui signifie (v-u)(v²+uv+u²)>0
Or les deux facteurs doivent être positifs pour que le produit soit positif donc on a
v-u>0 soit u<v CQFD

Bonjour,

Ta dernière idée ne me semble pas régler le problème
Reste sur le conseil de Noemi.

Je te donne un petit coup de pousse, Unsalsitriops, en attendant que Noemi soit là.

Il faut prouver que $U^2+UV+V^2$ est strictement positif

Etudie deux cas :
1er cas : U et V de même signe (réponse à peu près évidente)

2ème cas : U et V de signe contraire
Tu peux transformer pour pouvoir tirer la conclusion
$U^2+UV+V^2=U^2+2UV+V^2-UV=(U+V)^2-UV$

@mtschoon
Merci de ta réponse
Je viens de comprendre mon erreur

ta solution me paraît juste mais un peu difficile à argumenter cependant. Prouver que c'est positif d'accord, mais strictement positif? Il faudrait admettre que u est différent de v ce qui n'est pas admis dans l'énoncé.

Si les deux facteurs étaient négatifs, le produit serait encore positif
( pense aux règles des signes d'un produit
"+ fois + donne +" et "- fois - donne +" )

Alors, tu n'as pas le choix, il faut que tu prouves que U²+UV+V² est strictement positif.

Je vois que tu as modifié ta réponse précédente, alors je complète la mienne.

Tu justifies que l'hypothèse $U3<V3U^3 \lt V^3$ ne peux se produire que pour U différent de V (tu peux raisonner par l'absurde : si U=V, alors $U^3=V^3$ donc impossible).eten particulier U et V ne peuvent pas être simultanément nuls.
Je te laisse expliciter cela avec rigueur.

Je t'ai donné un "coup de pousse", mais tu dois affiner tout cela .....

@mtschoon ouais merci je venais de m'en apercevoir

Bonjour,

En admettant que U et V sont non nuls ...

On peut aussi se rappeler (ou démontrer, c'est facile) que si le discriminant de (U² + UV + V²) est négatif, alors (U² + UV + V²) a le signe de son coefficient en U².

Et comme Delta = V² - 4V² = -3V² < 0 et que le coeff de U² est 1 donc > 0 ...

@black-jack
Ouais mais il faut l'admettre qu'ils sont non nuls.. dans l'énoncé il est marqué que u et v appartiennent à l'ensemble des réels.
Je comprends pas comment tu obtient ce résultat au discriminant par contre

@mtschoon d'accord merci beaucoup pour toutes vos réponses je vais rédiger maintenant

Bonjour Unsalsitriops

N'hésite pas à proposer une question ou une remarque si tu as besoin d'explications supplémentaires.

Bonjour, j'écris juste ce que j'ai rédigé en espérant ne pas avoir fais d'erreur
u^3<v^3
u^3-v^3 < 0
On peut factoriser cette expression de la manière suivante :
(u-v).(u²+uv+v²)<0
Dans un premier temps on suppose u=v, alors on a u-v=0 équivalent à (u-v)(u²+uv+v²) = 0 ce qui contredit notre hypothèse de départ ou (u-v)(u²+uv+v²) < 0
donc u est différent de v
On va alors étudier le signe du facteur (u²+uv+v²) par disjonction de cas :

D'une part si u et v sont de même signe alors u.v ≥ 0 . Comme un carré est toujours positif ou nul, et qu'au moins un des deux termes u et v est non nul (car u est différent de v) alors u²+v²>0 . La somme de termes positifs est un nombre positif donc on a u²+uv+v² > 0
D'autre part si u et v sont de signes contraires alors on a : u²+uv+v² = u²+2uv-uv = (u+v)²- uv. Lorsque u=-v, alors u+v= 0 et par conséquent (u+v)²=0.
De plus -u.v = u² (ou v² cela reviendrait au même), u²>0 car u est différent de v et différent de 0. On a alors (u+v)²-uv >0
Lorsque u est différent de -v alors u+v est différent de 0 et donc (u+v)²>0. De plus u.v ≤ 0 car u et v sont de signes contraires donc -u.v ≥ 0 et on a alors (u+v)²-uv> 0

En somme quelque soit la nature de u et de v (avec u différent de v), u²+uv+v² > 0
Revenons à notre inéquation de départ, ou (u-v)(u²+uv+v²)< 0 alors par conséquent (u-v) < 0 et alors u<v CQFD
La réciproque est donc vraie

Donc voila merci de toutes vos réponses, je sais pas si cette rédaction suffira n'hésitez pas à me dire ce qu'il ne va pas.

Unsalsitriops,

C'est correct.

@noemi
D'accord merci, je trouvais cela un peu long et je pensais vu que je suis en terminale S avoir des exercices un peu plus simples mais bon ^^

J'essaierais d'aider d'autres personnes dans ce forum dès que j'en aie l'occasion
Aurevoir

@unsalsitriops

Bonne résolution et à bientôt.

Unsalsitriops, au cours de la discussion, il y a eu une intervention pour prouver que U²+UV+V² >0, d'une autre façon, sans suite...

Comme j'ai un peu de temps, je vais te l'expliquer.
Bien sûr, tu ne va pas mettre DEUX démonstrations dans ton devoir (une seule suffit !) mais comprendre une autre méthode est toujours intéressant.

Tout d'abord, comme dans la méthode que je t'ai proposé, il faut prouver que U et V ne peuvent pas être égaux donc, en conséquence qu'ils ne peuvent pas être simultanément nuls.

Ainsi, il y a 3 cas à étudier
1er cas : U nul et V non nul
U²+UV+V²=V²
Vu que V est non nul, V² >0 donc U²+UV+V² > 0
2ème cas : U non nul et V nul
U²+UV+V²=U²
Vu que U est non nul, U² >0 donc U²+UV+V² > 0
3ème cas : U non nul et V non nul
Tu peux considérer que U²+UV+V² est un polynöme du second degré de variable réelle U non nulle, V jouant le rôle de paramètre réel non nul.
Je pose P(U)=U²+UV+V²
Polynôme de la forme aU²+bU+c, avec a=1, b=V et c=V²
Discriminant $Δ\Delta$ =b²-4ac=-3V²
Vu que V est non nul, V² > 0 donc -3V² < 0 donc $Δ\Delta$ < 0
Le polynôme P(U) est donc toujours du signe de a (qui vaut 1), donc
P(U) > 0 donc U²+UV+V² > 0
CQFD.

Bonne lecture .

Bonne semaine Noemi !

Salut

@unsalsitriops a dit dans Fonction cube stricte croissance :

@black-jack
Ouais mais il faut l'admettre qu'ils sont non nuls.. dans l'énoncé il est marqué que u et v appartiennent à l'ensemble des réels.
Je comprends pas comment tu obtient ce résultat au discriminant par contre

Soit une fonction du second degré de R dans R : f : x --> ax²+bx+c

f(x) = 0 pour x = [-b +/- RacineCarrée(b²-4ac)]/(2a)

Si b² - 4ac < 0, alors il n'y a pas de solution réelle et donc le graphe de f(x) (qui est continu) ne coupe jamais l'axe des abscisses.
Ceci implique que f(x) a le même signe pour tout x.

Il suffit donc de trouver le signe de ax²+bx+c pour une valeur quelconque de x ...

On choisit x = -c/b --> f(-c/b) = ax² ... qui a forcément le signe de a

--> Si le discriminant de ax²+bx+c est < 0, alors ax²+bx+c a pour tout x (de R) le signe de a, soit de son coeff en x².

Dans le cas (U² + UV + V²), on a une fonction du second degré de variable U (avec a = 1; b = V et c = V²)

b²-4ac = V² - 4.V² = -3V² (qui est < 0 quel que que soit V de R) et donc le signe de (U² + UV + V²) est celui du coefficient de V² ... qui est 1, donc > 0

Et donc (U² + UV + V²) > 0 pour toutes valeur réelles de R*² de U et V

Bonjour Black-Jack

Tu n'as peut-être pas remarqué, mais j'ai expliqué il y a une heure environ...
Bien sûr, deux précautions valent mieux qu'une !

J'en déduis que tu dois t'ennuyer sur ton forum où tu es "vétéran"...

Bonne journée.

Bonjour,

Non, je n'avais pas vu ton message.

Je suis "vétéran" sur quelques forums et modérateurs sur certains (sous un autre pseudo).

Mais il me reste du temps pour voyager sur d'autres sites intéressants, même si mon domaine de prédilection est la Physique.

merci pour vos messages j'ai compris vos différentes techniques,
j'ai rendu mon devoir ce matin, tous mes amis ont raisonné par l'absurde mais honnêtement çà m’étonnerais que c'est ce qu'il fallait faire.
Je le trouvais assez difficile quand même pour un exo de terminale S j'ai pas l'habitude de passer une journée sur un dm mais bon

Unsalsitriops, la méthode par factorisation dont tu as eu l'idée est très bonne. Nous t'avons aidé à la réaliser correctement (tu as même eu deux façons pour trouver le signe du second facteur), mais il ne faut pas penser que c'est la seule méthode possible.

Sans factorisation, en utilisant le fait que la fonction cube est strictement croissante (si cela fait partie des propriétés que tu as le droit d'utiliser (???) ), tu aurais pu faire d'autres démonstrations (un peu plus courtes) .
Par exemple, utiliser le taux de variation de la fonction ou bien faire une démonstration par l'absurde.
Il n'y a pas d'incompatibilité !

Tout est lié à la qualité de la démonstration, bien sûr.

Bonnes réflexions !