Dm de maths suites + logarithme (compliqué)

Bien le bonjour/bonsoir,

Je suis un élève de terminale S qui fait appel à vous personnes plus douées que moi dans cette matière...
Mon professeur de mathématiques nous a donné un devoirs maison à effectuer pour lundi, sauf que la plupart du temps ils sont relativement simple mais celui ci, est sacrément compliqué. J'aimerai avoir de l'aide pour les questions suivantes s'il vous plaît :

Énoncé du dm :

u(0) = x
u(n+1) = sqrt(un)
v(n) = 2^n(un - 1)

Questions :

1)a Démontrer que pour tout t > 0,
0 <= t - ln (1+t)

1)b Démontrer que pour t > 0,
t - ln (1+t) <= (1/2)t²

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, x = (un)^2n, cette question c'est bon ! En revanche, il faut en déduire que ln (un) = (1/2^n) ln x

3)a En prenant t = Un -1 dans les inégalités de la question 2, montrer que pour n appartenant à N :

0 <= vn - ln x <= ((1/2)^n-1)*(x-1)²

3)b En déduire la limite de la suite (vn) lorsque n tend vers + l'infini

Je vous en remercie par avance,

Cordialement.

Bonjour Artgyre,

Le scan du sujet est interdit sur ce forum.
Ecris l'énoncé du sujet et indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.

Bonjour modérateur, pourquoi n'ai-je aucune réponse ?

Bonjour Artgyre,

Pour la question 1 a), étudie les variations de la fonction t - ln(1+t)