artihmétique : nombres premiers entre eux
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Bonjour, pouvez-vous me mettre sur la voie pour cet exercice
n est un entier naturel.
a=2n+3na=2^n+3^na=2n+3n, b=2n+1+3n+1b=2^{n+1}+3^{n+1}b=2n+1+3n+1, c=2n+2+3n+2c=2^{n+2}+3^{n+2}c=2n+2+3n+21/Montrer que a et b sont premiers entre eux. (On pourra calculer b-a).
2/ a et c sont-ils premiers entre eux ?Alors b−a=2×3n+2nb-a=2\times3^n+2^nb−a=2×3n+2n
après je n'ai pas trouvé la bonne piste.
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mtschoon dernière édition par mtschoon
Bonjour Thierry,
Je regarde la première question vu qu'elle semble poser problème.
Vu que l'énoncé propose d'utiliser b-a, tu peux, peut-être utiliser la propriété
PGCD(b,a)=PGCD(a, b-a) (je pense qu'elle est est au programme de TS, sinon on peut la démontrer)Cela donne
PGCD(2n+1+3n+1,2n+3n)=PGCD(2n+3n,2n+2.3n)PGCD(2^{n+1}+3^{n+1},2^n+3^n)=PGCD(2^n+3^n,2^n+2. 3^n)PGCD(2n+1+3n+1,2n+3n)=PGCD(2n+3n,2n+2.3n)c'est à dire
PGCD(2n+1+3n+1,2n+3n)=PGCD(2n+3n,2n+3n+3n)PGCD(2^{n+1}+3^{n+1},2^n+3^n)=PGCD(2^n+3^n,2^n+ 3^n+3^n)PGCD(2n+1+3n+1,2n+3n)=PGCD(2n+3n,2n+3n+3n)En utilisant cette propriété du PGCD successivement deux fois de plus, tu devrais pouvoir arriver à PGCD(3n,2n)=1PGCD(3^n,2^n)=1PGCD(3n,2n)=1
Bonne journée!
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Bien vu !
Oui j'avais pensé à cette propriété. Mais pas pensé à l'enchaîner plusieurs fois.
Merci.Pour montrer que a et c ne sont pas premiers entre eux, j'ai juste trouvé un contre-exemple pour n=1
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mtschoon dernière édition par mtschoon
Effectivement, pour la 2), un contre-exemple est la plus rapide des méthodes !
Je pense que celui qui a écrit l'énoncé a voulu faire réfléchir.
a et b sont premiers entre eux ; b et c sont premiers entre eux.
Un étourdi pourrait en déduire, à tort, que a et c sont premiers entres eux, ce qui est souvent faux, bien sûr !
