artihmétique : nombres premiers entre eux


  • Modérateurs

    Bonjour, pouvez-vous me mettre sur la voie pour cet exercice

    n est un entier naturel.
    a=2n+3na=2^n+3^n, b=2n+1+3n+1b=2^{n+1}+3^{n+1}, c=2n+2+3n+2c=2^{n+2}+3^{n+2}

    1/Montrer que a et b sont premiers entre eux. (On pourra calculer b-a).
    2/ a et c sont-ils premiers entre eux ?

    Alors ba=2×3n+2nb-a=2\times3^n+2^n
    après je n'ai pas trouvé la bonne piste.


  • Modérateurs

    Bonjour Thierry,

    Je regarde la première question vu qu'elle semble poser problème.

    Vu que l'énoncé propose d'utiliser b-a, tu peux, peut-être utiliser la propriété
    PGCD(b,a)=PGCD(a, b-a) (je pense qu'elle est est au programme de TS, sinon on peut la démontrer)

    Cela donne
    PGCD(2n+1+3n+1,2n+3n)=PGCD(2n+3n,2n+2.3n)PGCD(2^{n+1}+3^{n+1},2^n+3^n)=PGCD(2^n+3^n,2^n+2. 3^n)

    c'est à dire
    PGCD(2n+1+3n+1,2n+3n)=PGCD(2n+3n,2n+3n+3n)PGCD(2^{n+1}+3^{n+1},2^n+3^n)=PGCD(2^n+3^n,2^n+ 3^n+3^n)

    En utilisant cette propriété du PGCD successivement deux fois de plus, tu devrais pouvoir arriver à PGCD(3n,2n)=1PGCD(3^n,2^n)=1

    Bonne journée!


  • Modérateurs

    Bien vu !
    Oui j'avais pensé à cette propriété. Mais pas pensé à l'enchaîner plusieurs fois.
    Merci.

    Pour montrer que a et c ne sont pas premiers entre eux, j'ai juste trouvé un contre-exemple pour n=1


  • Modérateurs

    Effectivement, pour la 2), un contre-exemple est la plus rapide des méthodes !

    Je pense que celui qui a écrit l'énoncé a voulu faire réfléchir.

    a et b sont premiers entre eux ; b et c sont premiers entre eux.
    Un étourdi pourrait en déduire, à tort, que a et c sont premiers entres eux, ce qui est souvent faux, bien sûr !


 

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