exercice de probabilité : espérance

soit X une variable aléatoire à densité; de loi uniforme sur l'intervalle [0.1] .
on pose Y=-B ln(X). B étant un nombre réel strictement positif.déterminer espérance mathématique de Y .
comment je peux résoudre ce genre de question !!

Bonjour,

Une piste,

$\times ln(X)$ <=> $ln(X)=−Ybln(X)=-\frac{Y}{b}$ <=> $X=e−YBX=e^{-\frac{Y}{B}}$

X prend des valeurs entre 0 et 1, ln(X) est négatif et -B ln(X) est positif donc Y prend des valeurs positives.

Essaye de trouver la loi de Y (loi exponentielle) dont tu pourrais déduire l'espérance.

bonsoir @mtschoon ;
j'ai regardé un cours sur youtube puisqu’on a pas fait cette loi dit que E(x)= 1/lambda et que f(x)=lambda exp-(lambda x)
dans ce cas quelle sera la valeur de lambda :

Si tu n'as pas vu la loi exponentielle et ses propriétés en cours, tu ne peux pas faire cet exercice convenablement..
Il faut attendre d'avoir vu le cours.

Après une démonstration à faire,
$λ=1B\lambda=\frac{1}{B}$ ,
$E(Y)=1λ=BE(Y)=\frac{1}{\lambda}=B$

@mtschoon le problème est qu'on a terminé la probabilité sans passer par la loi exponentielle mais je l'ai trouvé dans le concours que je passerai

Je comprends ton souci hiba...

Si ça t'arrange, je te détaille un peu l'explication, mais je ne suis pas sûre que ça puisse te servir (vu l'absence de cours...)

Cet exercice n'est pas long mais il demande une bonne maîtrise des lois uniformes et exponentielles.

Etude la fonction de répartition de Y

Pour $\lt 0$ , $\le t)=0$

Pour $\ge 0$ , $Pr(Y≤t)=Pr(X≥e−t/B)Pr(Y\le t)=Pr(X \ge e^{-t/B})$

D'où
$\le t)=1-Pr(X \lt e^{-y/b})$

Or, $\lt e^{-y/b})=e^{-t/B}$ (Car X a une loi uniforme)

Donc $\le t)=1-e^{-t/B}$

On reconnait la fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre $λ=1B\lambda=\frac{1}{B}$

D'où $E (Y) = B$

@mtschoon je vous remercie énormément pour votre explication ; si t est un réel et Y est la variable aléatoire j'ai pas compris la 1 et la 2 ligne

Bonjour,

J'ai appelé t le réel pour éviter les confusions possibles entre majuscule et minuscule.

Je vais te détailler les deux premières lignes le mieux possible.

$Y=-Bln(X)\fbox{Y=-Bln(X)}$

X prend des valeurs comprises entre 0 et 1
donc, ln(X) prend des valeurs comprises entre - $∞\infty$ et 0
vu que B est positif, -B est négatif ; en multipliant 2 négatifs ensemble, on obtient un positif
donc -Bln(X) est compris entre 0 et + $∞\infty$
donc Y est compris entre 0 et + $∞\infty$

Pour $\lt 0$ , $\fbox{Pr(Y \le t)=0}$ (car Y ne peut pas prendre de valeurs négatives)

Pour $t≥0t\ge 0$ , $\le t)=Pr(-Bln(X) \le t)=Pr(ln(X)\ge \frac{t}{-B})$
donc $\fbox{Pr(Y \le t)=Pr(X\ge e^{\frac{-t}{B}})}$ ,

@mtschoon merci beaucoup

De rien !

Bon travail.