Aire max d’un rectangle

Bonjour, je suis en Première S, j’ai un DM à faire pour mercredi :

Monsieur Fish envisage de créer un parc à poissons. Il dispose d’un filet de 440 mètres qu’il veut fixer a la jetée pout délimiter trois côtés du parc rectangulaire.
Comment doit-il fixer son filet pour que le parc ait une aire maximale ? Présisez alors la superficie du parc.

Je rajoute qu’on vient de commencer les cours récemment et qu’on a parlé de la forme canonique, je suppose qu’on en aura besoin du coup.

Alors en ayant recherché au préalable sur le forum, j’ai réussi plus ou moins à m’orienter mais j’aurais tout de même besoin de votre aide s’il vous plaît :

Périmètre = x+2y (x et y étant la longueur et la largeur, il n’y a qu’un x car je ne compte pas la jetée)
Aire = xy
X = 440-2y
Y = 220-x
Donc A = (440-2y) (220-x)
Ce qui nous donne en développant :
96800-440x-440y+2yx
Et ensuite je suis perdu, j’ai l’impression que mon résultat est faux du coup j’imagine ne pas avoir la méthode et puis je ne sais pas quoi faire ensuite, et j’aurai besoin de l’aide de quelqu’un, j’espère avoir été clair et vous remercie d’avance pour votre aide !

PS : J’ai lu « STOP » du forum et suis désolé si la réponse a déjà été résolue dans un autre topic, j’ai cherché sans comprendre et sans réellement trouver de réponses et m’excuse si je n’ai pas respecté telle ou telle règle, je vous demande donc si c’est le cas de ne pas supprimer mon message car j'ai pris du temps à tout expliquer clairement et vous demander de le modifier ou autre, merci !

Bonjour Emilio,

Le début est juste, il manque un diviser par 2 à Y !
x +2y = 440, soit y = 220 -x/2
L'aire xy = x(220- x/2)
Cherche la forme canonique de l'aire.
Propose tes éléments de réponse si tu souhaites plus d'explication.

D’accord Noemi, mais jaimerais comprendre d’où vient mon erreur pour le y. Lorsque je fais l’équation x+2y=440, je divise y par 2 ce qui me donne x+y=220, en suite je fait -x ce qui me donne y= 440-x, ça c’est mon résultat, je vous crois quand vous dîtes que j’ai oublié de diviser par 2 mais pouvez vous s’il vous plaît m’expliquer d’où vient cette erreur (je suis redoublant j’aimerais me déchirer cette année).
Bref je me retrouve avec
X=440-2y
Y=220-x/2 (juste ?)
Du coup je dirais A = xy
Donc A = (440-2y) (220-x/2)
En développant personnellement je me retrouve avec : 96800-440x/2-440y+2y.
Avec ce résultat je pense avoir faux et aimerais aussi savoir d’où vient mon erreur.
Voilà j’attends votre réponse et merdi d’avoir répondu rapidement !

Je vois vous n’avez pas ecrit x avec sa fonction mais pourquoi du coup ? Et pourquoi au début je n’ai pas divisé par 2 ? Où sont mes erreurs svp ?

@emilio ,

x+2y = 440 donne
2y = 440 - x soit
y = (440-x)/2
y = 440/2 - x/2

Pour l'aire :
xy = x(220- x/2) développe le terme de droite puis tu écris la forme canonique

Re Noemi, lorsque tu divise le 2y par 2, tu le divise seul ou tu le divise avec les termes de son côté ? En suite, les termes de l’autre côté doivent tous être divisés par 2 ?

En développant :
X(220-x/2)
= x220-xx/
=220x-x^2/2
En réarrangeant les termes :
-x^2/2 + 220x
Alpha = -b/2a
= 110
Beta = f(Alpha)
J’hesite, je ne sais jamais si il faut mettre les nombres entre parenthèses avant de les mettres au carré
Soit : -110^2+220110=18150
Soit : (-110)^2+220110=30250

Du coup je m’arrête la avant de poursuivre, n’hésitez pas à me demander le detail de mes calculs si j’ai fait une erreur et merci de la préciser et de m’éclaircir sur les points que je n’ai pas compris au début de mon message et sur les « Soit ».
Merci !

Bonjour Emilio

x+2y = 440 donne
2y = 440 - x soit si on divise par 2
2y/2 = (440-x)/2 puis
y = 440/2 - x/2 puis
....

Pour l'aire
Attention dans le calcul ce -b/2a, a = -1/2
- $x^2)$ /2 +220 $x$ tu cherches la forme canonique
-1/2 $x-220)^2$ + 24200
....

En effet j’ai trouvé cette forme canonique, et en suite avec ça, pouvons-nous répondre au problème ?

Emilio,

Oui tu peux répondre au problème, en analysant la forme canonique, tu peux en déduire la valeur de x pour laquelle l'aire est maximale.

Tout ce que je sais c’est que Alpha et Beta sont les coordonnés du sommet de la parbole d’une fonction du second degré, comme je vous l’ai di la seule chose que nous ayons fait est trouver la forme canonique mais on ne sait pas à quoi elle sert en application, du coup je ne vois pas en quoi elle peut m’aider à trouver l’air maximale d’un rectangle, désolé, pouvez-vous me mettre sur une piste svp ? Merci pour vos réponses

L'aire A = -1/2( $x$ −220) $^2$ + 24200
est une différence,
Quelle est la plus grande valeur que peut prendre A ?
Pour quelle valeur de $x$ ?

Je vois une division, une multiplication, une soustracion et une addition ‍️, puis même si je m’en rendais compte je ne sais pas comment faire pour trouver pour quelle valeure de x A est max, je ne connais pas la méthode, dsl ‍️

L'aire A = -1/2( $x$ −220) $^2$ + 24200 est une différence,
On soustrait 1/2( $x$ -220)^2 à 24200
La plus grande valeur que peut prendre A est donc 24200
1/2( $x$ -220) $^2$ s'annule pour $x$ = ...

Alors on doit considérer
-1/2(x-220)+220 et 24200 comme deux termes ?
Du coup -1/2(x-220)^2
En développant :
-1/2(x^2-2x*220(-220)^2)
= -1/2(x^2-440x+48400)
= -1/2x^2+220x+48400
Jusqu’e la c’est bon ?

En suite il faut voir quand ça s’annule :
-1/2x^2+220x+48400=0
Il faudrait résoudre cette équation ? Comment ? Entre le carré et le reste de l’équation je suis perdu, je ne sais pas comment m’y prendre, encore dsl de vous faire tourner en rond mais votre aide me serait d’une grande utilité

Les deux termes sont : -1/2( $x$ -220) $^2$ et 24200
La plus grande valeur que peut prendre A est 24200
Tu n'as pas à développer : 1/2( $x$ -220) $^2$ = 0 si
$x$ -220 = 0 ; soit x = ....

Je vois, on a -1/2*... donc si ... = 0 alors -1/2*... s’annule
Du coup x-220
X=220 donc L’aire max est 220 ?

L'expression s'annule si $x$ -220 = 0 soit si $x$ = 220
pour l'aire tu dois calculer la valeur de $y$ correspondante puis l'aire ou
remplacer $x$ par 220 dans l'expression de l'aire.

Je vois donc il y a deux solutions, que voulez vous dire par calculer la valeur de y correspondante ? En suite je veux bien remplacer x par 220 mais dans quel calcul ? X(220-x/2) ? Cela me donnera l’aire max ?

En fait la question est : Comment fixer le filet ? il faut calculer $x$ et $y$
$x$ =220
$y$ = 220- 220/2 = 110

La superficie est déjà calculée, c'est 24200
N'oublie pas de conclure par une phrase avec l'unité.

Ok donc Beta était la superficie max du rectangle, je ne m’en suis pas rendu compte, enfin je ne savais pas que Beta correspondait a une aire max, et du coup X=220 et y=110 ? C’est ça ?

Et du coup Alpha c’est quoi ? Pour moi Alpha et Beta sont les sommets d’une parabole, et comme il y a d’autres applications à la forme canonique, Beta ne signifie pas toujours une aire max ? Y’a-t-il une définition générale pour La Alpha et Beta ?

Le sommet de la parabole a pour coordonnées (alpha; bêta).
Selon la concavité de la parabole bêta peut être un maximum ou un minimum.

Très bien je m’en vais conclure, merci pour votre aide, votre patience et vos réponses, vraiment