Suite par récurrence

[sirius84]

Bonjour à tous,
là je sèche et j'aimerais avoir un ptit coup de mains svp , merci.
Soit (Un) la suite définie su N par :
Uo = 1
Un+1 = Un+2n+3 pour tout n appartient N

1. calculer les cinq premiers termes de cette suite et conjecturer une expression de Un en fonction de n.
2. démontrer par récurrence la propriété conjecturée.
   Pour la première question j'ai trouvé U1 = 6, U2 =13, U3=22, U4=33, U5=46 et Un en fonction de n est : Un = 1+10n. (est ce que j'ai juste?)
   par contre pour la deuxième question je ne m'en sort pas.
   Merci pour vos conseils

[mtschoon]

Bonjour sirius84,

Tu devrais commencer par revoir les calculs des premiers termes

$U_1=U_0+2(0)+3=1+3=4$

$U_2=U_1+2(1)+3=4+2+3=9$

Continue et tu conjectureras une nouvelle expression simple de $U_n$

Donne tes nouveaux résultas si besoin.

[sirius84]

Merci mtschoon pour les premiers termes (j'avais faux grrrr).
j'ai continué, en conjecturant une expression de Un en fonction de N avec l'équation Un = Uo +n x r. Vu que j'avais Uo il me restait plus qu'à trouver r donc j'ai pris deux termes ( U1=4 et U5 = 36) comme ceci
U1=Uo+nr = Uo - 1r
U5= Uo+nr = Uo - 5r
Ensuite j'ai soustrait les 2:
Uo-Uo+1r-5r=4-36
-4r=-32
r= -32/-4 =8
Donc Un en fonction de n = 1+8n (Est ce juste?)
Ensuite il faut que je démontre par récurrence:
Initialisation: Un=1+8*0=1
Hérédité: Up+1 = Up + 2p +3
Up+1 = 1+8p+2p+3 = 4+10p ( et là je bloque)

[Noemi]

Bonjour sirius84 et mtschoon,

sirius84, la relation pour Un est fausse.
Essais : n(n+2) + 1

[sirius84]

Bonjour noemi,
Dsl je comprends pas où tu veux en venir. tu peux m'expliquer un peu plus, merci.

[Noemi]

@sirius84

A la question 1, il est demandé de conjecturer une expression de Un en fonction de n.
Une réponse possible Un = n(n+2) + 1
Vérifie que cette relation est correcte pour les termes que tu as calculé.
Puis tu démontres cette propriété conjecturée par récurrence.

[mtschoon]

Rebonjour sirius84 et bonjour Noemi,

sirius84, si tu continues la démarche pour les premiers termes, tu dois trouver successivement

$U_0=1=1^2$
$U_1=4=2^2$
$U_2=9=3^2$
$U_3=16=4^2$
$U_4=25=5^2$
$U_5=36=6^2$

Donc, tu peux conjecturer que : $\fbox{U_{n}=(n+1)^2}$

Essaie la récurrence (facile il me semble avec l'expression que je viens de t'indiquer) et reposte si tu n'y arrives pas.

[sirius84]

Rerereboujour, mtschoon et Noemi. Vos deux solutions marches donc je vous remercie beaucoup, il reste un problème au niveau de la récurrence à l'hérédité je ne sais pas comment mis prendre. Pour Naomi j'ai fais:
Un+1=Un+2n+3
=n(n+2)+2n+3
=n au carré + 4n + 3

Et pour mtschoon j'ai fait:

Un+1=Un+2n+3
=(n+1)au carré +2n+3
= n au carré +1+2n+3
=n(n+2)+4

Je ne sais pas si c'est juste. Pourriez vous me donnez votre avis Merci encore.

[mtschoon]

Bien sûr que les deux conjectures marchent vu que (n+1)²=n²+2n+1=n(n+2)+1

Pour démontrer la récurrence avec $U_n=(n+1{)}^2$

D'abord, je pense que tu as indiqué l'initialisation
Pour n=0 :
$U_0=(0+1{)}^2=1^2=1$

Pour l'hérédité, ton début est bon, mais il faut que tu arrives à $U_{n+1}=(n+2{)}^2$

Piste :
$U_{n+1}=U_n+2n+3$

$U_{n+1}=(n+1{)}^2+2n+3=n^2+2n+1+2n+3=n^2+4n+4$

Je te laisse reconnaître une identité remarquable pour terminer la démonstration.

[sirius84]

Coucou mtschoon grâce à ce que tu m'as donné voici la réponse que j'ai trouvé : n²+4n+4
=(n+a)(n+b)
=n²+bn+an+ab
= n²+(a+b)n+ab
donc a+b=4 et a*b=4
ce qui donne (n+2)(n+2) = n(n+2)² Est ce que c'est juste? d'avance merci

[mtschoon]

Tu devrais reconnaître tout simplement une identité remarquable

$n^2+4n+4=n^2+2(2\times n)+2^2$

Tu sais que $a^2+2ab+b^2=(a+b{)}^2$

Ici, a=n et b=2

donc, $n^2+4n+4=(n+2{)}^2$

[sirius84]

Je vous remercie beaucoup maintenant j'ai compris l'exercice. Merci encore

[mtschoon]

De rien !

A+