Suite et théorème des gendarmes



  • Bonjour à tous,

    Soit la suite Un=nn2+1+nn2+2+...+nn2+nU_n = \frac{n}{n^2+1} + \frac{n}{n^2+2} + ... + \frac{n}{n^2+n}
    La question est : déduire que, pour tout entier naturel nn non nul,
    n2n2+nUnn2n2+1\frac{n^2}{n^2+n} \le U_n \le \frac{n^2}{n^2+1}

    Je pense que il faut utiliser le théorème des gendarmes mais je n'en suis pas sûr et si c'est ce théorème je ne sais pas comment l'utiliser.

    Merci pour votre aide.



  • Bonjour sirius84,

    Cherche un encadrement d'un terme quelconque de Un
    .... ≤ n/(n2n^2+a) ≤ .... avec a entier naturel non nul,
    que tu appliques aux n termes.



  • Bonjour sirius84 et Noemi,

    Comme j'ai un peu de temps, je détaille le principe.

    On travaille ici avec des nombres positifs.
    Toutes les fractions ont le même numérateur
    Plus le dénominateur est grand, plus la fraction est petite, d'où :

    nn2+nnn2+1nn2+1\frac{n}{n^2+n} \le \frac{n}{n^2+1} \le \frac{n}{n^2+1}
    nn2+nnn2+2nn2+1\frac{n}{n^2+n} \le \frac{n}{n^2+2} \le \frac{n}{n^2+1}
    nn2+nnn2+3nn2+1\frac{n}{n^2+n} \le \frac{n}{n^2+3} \le \frac{n}{n^2+1}
    ...
    ...
    nn2+nnn2+nnn2+1\frac{n}{n^2+n} \le \frac{n}{n^2+n} \le \frac{n}{n^2+1}

    En ajoutant membre à membre, on obtient l'encadrement souhaité

    n2n2+1Unn2n2+1\fbox{\frac{n^2}{n^2+1} \le U_n \le \frac{n^2}{n^2+1}}

    Conséquence, en utilisant l'encadrement trouvé :

    Si la limite de UnU_n est demandée, en cherchant la limite de n2n2+n\frac{n^2}{n^2+n} et n2n2+1\frac{n^2}{n^2+1} lorsque n tend vers +\infty, on obtiendra la même valeur qui sera la limite de UnU_n : c'est cela le Théorème des deux gendarmes.

    On doit trouver limn+Un=1\fbox{\displaystyle \lim_{n\to +\infty}U_n=1}

    Bon travail !


 

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