Suite et théorème des gendarmes


  • S

    Bonjour à tous,

    Soit la suite Un=nn2+1+nn2+2+...+nn2+nU_n = \frac{n}{n^2+1} + \frac{n}{n^2+2} + ... + \frac{n}{n^2+n}Un=n2+1n+n2+2n+...+n2+nn
    La question est : déduire que, pour tout entier naturel nnn non nul,
    n2n2+n≤Un≤n2n2+1\frac{n^2}{n^2+n} \le U_n \le \frac{n^2}{n^2+1}n2+nn2Unn2+1n2

    Je pense que il faut utiliser le théorème des gendarmes mais je n'en suis pas sûr et si c'est ce théorème je ne sais pas comment l'utiliser.

    Merci pour votre aide.


  • N
    Modérateurs

    Bonjour sirius84,

    Cherche un encadrement d'un terme quelconque de Un
    .... ≤ n/(n2n^2n2+a) ≤ .... avec a entier naturel non nul,
    que tu appliques aux n termes.


  • mtschoon

    Bonjour sirius84 et Noemi,

    Comme j'ai un peu de temps, je détaille le principe.

    On travaille ici avec des nombres positifs.
    Toutes les fractions ont le même numérateur
    Plus le dénominateur est grand, plus la fraction est petite, d'où :

    nn2+n≤nn2+1≤nn2+1\frac{n}{n^2+n} \le \frac{n}{n^2+1} \le \frac{n}{n^2+1}n2+nnn2+1nn2+1n
    nn2+n≤nn2+2≤nn2+1\frac{n}{n^2+n} \le \frac{n}{n^2+2} \le \frac{n}{n^2+1}n2+nnn2+2nn2+1n
    nn2+n≤nn2+3≤nn2+1\frac{n}{n^2+n} \le \frac{n}{n^2+3} \le \frac{n}{n^2+1}n2+nnn2+3nn2+1n
    ...
    ...
    nn2+n≤nn2+n≤nn2+1\frac{n}{n^2+n} \le \frac{n}{n^2+n} \le \frac{n}{n^2+1}n2+nnn2+nnn2+1n

    En ajoutant membre à membre, on obtient l'encadrement souhaité

    $\fbox{\frac{n^2}{n^2+1} \le U_n \le \frac{n^2}{n^2+1}}$

    Conséquence, en utilisant l'encadrement trouvé :

    Si la limite de UnU_nUn est demandée, en cherchant la limite de n2n2+n\frac{n^2}{n^2+n}n2+nn2 et n2n2+1\frac{n^2}{n^2+1}n2+1n2 lorsque n tend vers +∞\infty, on obtiendra la même valeur qui sera la limite de UnU_nUn : c'est cela le Théorème des deux gendarmes.

    On doit trouver $\fbox{\displaystyle \lim_{n\to +\infty}U_n=1}$

    Bon travail !


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