Exercice sur le T.V.I.

Bonsoir tous les membres de MATHFORU !
J'ai un problème d'un exercice, j'ai essayé depuis 2 heures de le résoudre mais je pourrais pas !

Voilà l'exercice
Soit a>1
Soit f une fonction continue sur [1/a,a]
Prouve que: quelque soit C appartient à [1/a,a] on a f(c) = c × f (1/c)

Bonjour Sara

L'énoncé est-il complet ? Pas de précision sur le type de fonction f ?

Bonjour Sara et Noemi,

C'est vrai que cet énoncé laisse perplexe...

Si la question était :
Prouver qu'il existe c appartient à $[1a,a][\frac{1}{a},a]$ tel que
$\times f (\frac{1}{c})$ , ce serait un bel exercice, en appliquant le TVI à la fonction g définie sur $[1a,a][\frac{1}{a},a]$ par $g(x)=f(x)−xf(1x)g(x)=f(x)-xf(\frac{1}{x})$

Mais avec quelque soit c ... ?

Piste pour le cas où Sara aurait fait une erreur de quantificateur

Rappel :

Quantificateur universel, noté $∀\forall$ , qui veut dire "Quel que soit", c'est à dire "Pour tout"
Quantificateur existentiel, noté $∃\exists$ qui veut dire "il existe au moins un"
Remarque : "il existe exactement un" se note $∃!\exists!$

Si la question est celle indiquée dans ma réponse précédente, le théorème des valeurs intermédiaires convient parfaitement.

Pistes à expliciter

Soit $g(x)=f(x)−xf(1x)g(x)=f(x)-xf(\frac{1}{x})$

On justifie d'abord que g est continue sur $\frac{1}{a} , a]$

On calcule g(x) aux bornes de l'intervalle $\frac{1}{a} , a]$
$g(a)=f(a)−af(1a)g(a)=f(a)-af(\frac{1}{a})$
$g(1a)=f(1a)−1af(a)g(\frac{1}{a})= f(\frac{1}{a})-\frac{1}{a}f(a)$

On transforme $g(1a)g(\frac{1}{a})$ pour le mettre en relation avec $g (a)$
$g(1a)=−1a[f(a)−af(1a)]g(\frac{1}{a})=-\frac{1}{a}[f(a)-af(\frac{1}{a})]$
Donc $\fbox{g(\frac{1}{a})=-\frac{1}{a}g(a)}$

On déduit que $g (a$ ) et $g(1a)g(\frac{1}{a})$ sont de signes contraires

On utilise le TVI , pour g : il existe (au moins) une valeur c de $\frac{1}{a} , a]$ telle que $g(c)=0\fbox{g(c)=0}$

On déduire l'égalité souhaitée $\fbox{f(c)=cf(\frac{1}{c})}$

Sara, si cet énoncé modifié est le bon, travaille tout cela de près.
Sinon, reposte.