Exercice sur le T.V.I.



  • Bonsoir tous les membres de MATHFORU !
    J'ai un problème d'un exercice, j'ai essayé depuis 2 heures de le résoudre mais je pourrais pas ! 😣

    Voilà l'exercice
    Soit a>1
    Soit f une fonction continue sur [1/a,a]
    Prouve que: quelque soit C appartient à [1/a,a] on a f(c) = c × f (1/c)


  • Modérateurs

    Bonjour Sara

    L'énoncé est-il complet ? Pas de précision sur le type de fonction f ?


  • Modérateurs

    Bonjour Sara et Noemi,

    C'est vrai que cet énoncé laisse perplexe...

    Si la question était :
    Prouver qu'il existe c appartient à [1a,a][\frac{1}{a},a] tel que
    f(c)=c×f(1c)f(c) = c \times f (\frac{1}{c}) , ce serait un bel exercice, en appliquant le TVI à la fonction g définie sur [1a,a][\frac{1}{a},a] par g(x)=f(x)xf(1x)g(x)=f(x)-xf(\frac{1}{x})

    Mais avec quelque soit c ... ?


  • Modérateurs

    Piste pour le cas où Sara aurait fait une erreur de quantificateur

    Rappel :

    Quantificateur universel, noté \forall, qui veut dire "Quel que soit", c'est à dire "Pour tout"
    Quantificateur existentiel, noté \exists qui veut dire "il existe au moins un"
    Remarque : "il existe exactement un" se note !\exists!

    Si la question est celle indiquée dans ma réponse précédente, le théorème des valeurs intermédiaires convient parfaitement.

    Pistes à expliciter

    Soit g(x)=f(x)xf(1x)g(x)=f(x)-xf(\frac{1}{x})

    On justifie d'abord que g est continue sur [1a,a][ \frac{1}{a} , a]

    On calcule g(x) aux bornes de l'intervalle [1a,a][ \frac{1}{a} , a]
    g(a)=f(a)af(1a)g(a)=f(a)-af(\frac{1}{a})
    g(1a)=f(1a)1af(a)g(\frac{1}{a})= f(\frac{1}{a})-\frac{1}{a}f(a)

    On transforme g(1a)g(\frac{1}{a}) pour le mettre en relation avec g(a)g(a)
    g(1a)=1a[f(a)af(1a)]g(\frac{1}{a})=-\frac{1}{a}[f(a)-af(\frac{1}{a})]
    Donc g(1a)=1ag(a)\fbox{g(\frac{1}{a})=-\frac{1}{a}g(a)}

    On déduit que g(ag(a) et g(1a)g(\frac{1}{a}) sont de signes contraires

    On utilise le TVI , pour g : il existe (au moins) une valeur c de [1a,a][ \frac{1}{a} , a] telle que g(c)=0\fbox{g(c)=0}

    On déduire l'égalité souhaitée f(c)=cf(1c)\fbox{f(c)=cf(\frac{1}{c})}

    Sara, si cet énoncé modifié est le bon, travaille tout cela de près.
    Sinon, reposte.



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