exercice de math suites ts1

Bonjour voici mon énoncé : une observation faite sur la fréquentation d'un stade de football a permis de constater pour chaque année un taux de réabonnement de 80 % ainsi que l'apparition de 4000 nouveaux abonnés on note an le nombre d'abonnés à la fin de la 1e année et on précise que a0=7000

expliquer pourquoi pour tout entier naturel n on a an+1= 0,8an +4000
démontrer par récurrence que an est majorée par 20 000, c'est-à-dire que pour tout entier n,
an < 20 000
3)a) montrer que an+1 - an = 0,2(20 000 - an)
b) en déduire que la suite est croissante
4)a) compléter l'algorithme(je l'ai complété) ci-dessous ligne 5 6 7 8 10 12 afin de déterminer après combien d'années le nombre d'abonnés dépassera 16 000
1 VARIABLES
2 n est du type nombre
3 a est du type nombre
4 début algorithme
5 a prend la valeur 7000
6 n prend la valeur 0
7 tant que( a≤16000 )
8 début tant que
9 n prend la valeur n+1
10 a prend la valeur 0,8a+4000
11 fin tant que
12 afficher n
13 fin algorithme
b) programmer l'algorithme sur une calculatrice ou un logiciel et répondre à la question précédente
soit Un la suite définie pour tout nombre entier naturel n par Un = 20 000 - an
a) montrer que la suite est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme
b) exprimer Un en fonction de n puis an en fonction de n
c) déterminer la limite de la suite l'interpréter
VOIci mes réponses :
J'ai déjà effectué et réussi les 4 premières questions et la 5)a) mais j'ai cependant des incertitudes pour le reste
alors pour la b,
j'ai trouvé Un = Uo* q^n
20000-An= 130000,8^n
-An= 130000,8^n-20000
An= -130000,8^n +20000 je ne suis pas sur
c) [______________]
pour cette partie une prop du cours dit que k^n avec k > 0 tend vers +l'infini mais c'est multiplié par un nombre négatif donc tend vers - l'infini
et 20000 est une limite finie(L)
et lim -l'infini + limL donne comme lim -l'infini
merci de me dire si la 5e est correct ou nontexte en italique*

Bonjour inesc,

L'expression de An est juste à part qu'il manque le multiplier
An = 20000 - 13000x0,8^n
Pour la limite vu que 0,8 < 1 la limite de 0,8^n si n tend vers + l'infini est 0.
(pour le texte c'est k >1 et non k > 0)

Je te laisse conclure pour An .

c'est bizarre la propriété dans mon cours est bien avec k<0 et non avec 1
et puis je ne peux pas multiplier car le chiffre en puissance n'est pas le même ça ne respecte pas la règle des puissances

@inesc ,

Tu peux vérifier à l'aide de ta calculatrice ou d'un tableur en analysant l'évolution de An avec n de plus en plus grand.

Bonjour inesc et Noemi,

Une remarque inesc au sujet de la limite de $0.8^n$
Tu as dû mal écrire ton cours.
Regarde ici , le tout début pour $lim⁡n→+∞qn\displaystyle \lim_{n\to +\infty}q^n$
https://www.maths-et-tiques.fr/telech/SuitesTESL2.pdf