raisonnement par récurrence

[juTS1819]

Bonjour, j'ai un exercice de raisonnement par récurrence :
soit (Un) une suite définie par U0 = 2 et Un+1 = Un/1+U**n,
démontrer que pour tout n appartenant à N, Un= 2/2n+1.
dans la correction je ne comprend pas comment on passe de Un+1= 2/2n+1 /1+2/2n+1 à Un+1 =2/2n+2+1
svp aidez moi, merci d'avance.

[Noemi]

Bonjour juTS1819

Je décompose le calcul pour $U_{n+1}$:
Le numérateur : $\frac{2}{2n+1}$
Le dénominateur : $1+\frac{2}{2n+1}$ en réduisant au même dénominateur
$\frac{2n+1+2}{2n+1}$

Pour diviser deux fractions, on multiplie la première par l'inverse de la seconde
cela donne : $\frac{2(2n+1)}{(2n+1)(2n+1+2)}$

Il reste à simplifier l'expression pour trouver le résultat indiqué.
Résultat qu'il faut aussi simplifier.

[juTS1819]

@noemi d'accord j'ai compris, merci beaucoup