étude d'une Suite, avec le nombre d'or.



  • Bonjour je suis bloqué, je ne comprend pas l'exercice

    (énoncé rectifié avec formules écrites en Latex)

    On définit la suite (UnU_n) par U0=U_0=1 et pour tout entier naturel n :
    Un+1=1+UnU_{n+1} = \sqrt{1+U_n}
    Θ\Theta est le nombre d'or

    1- Montrer que pour tout naturel n on a : 0ΘUn+112(ΘUn)0 \le \Theta - U_{n+1} \le \frac{1}{2}(\Theta-U_n)
    On pourra dans cette question utiliser l'égalité Θ2=Θ+1\Theta ^2=\Theta+1 et une quantité conjuguée

    2- En déduire par récurrence que pour tout entier n on a: 0ΘUn(12)n0 \le \Theta - U_n \le (\frac{1}{2})^n

    3- Conclure pour la limite de la suite (Un(U_n)

    merci d'avance



  • Bonsoir Dol61160,
    Question 1
    ΘUn+1\Theta-U_{n+1} = (ΘUn+1)(Θ+Un+1)Θ+Un+1\dfrac{(\Theta-U_{n+1})(\Theta+U_{n+1})}{\Theta+U_{n+1}}
    ΘUn+1\Theta-U_{n+1}12(Θ2Un+12)\dfrac{1}{2}(\Theta^2-U_{n+1}^2)
    Or Un+12=1+UnU_{n+1}^2 = 1 + U_n
    puis tu utilises la relation avec Θ2\Theta^2
    et tu en déduis la relation indiquée.

    Je te laisse poursuivre pour la récurrence.



  • Bonjour Neomi et Dol61160,

    Je reste perplexe sur cet énoncé...

    La formule de départ n'est évidemment pas bien écrite .
    Dol61160 aurait dû mettre des parenthèses ou écrire en Latex Un+1=1+UnU{n+1}=\sqrt{1+U_n}

    Quelles sont les informations sur Θ\Theta ?
    Bien sûr, il s'agit du nombre d'or mais comment est-il défini dans l'énoncé ?

    Est-il indiqué Θ=1+52\Theta=\frac{1+\sqrt 5}{2} (solution positive de l'équation x2=1+xx^2=1+x) ou solution de x=1+xx=\sqrt{1+x} ou autre chose ?

    La formule de la question 2 à prouver par récurrence me parait fausse...

    J'aurais écrit :
    0ΘUn(12)n0 \le \Theta-U_n \le (\frac{1}{2})^n

    Espérons que Dol61160 donnera des indications précises sur cet énoncé, s'il a besoin de plus d'aide.



  • Bonjour mtschoon,
    tout ce que tu as corrigé est correct je suis nouvelle sur le site donc je ne connait pas les codes



  • Rebonjour Dol61160,

    D'accord . Ce n'est pas simple lorsqu'on n'a pas l'habitude.

    Je viens de rectifier ton énoncé vu que mes propositions conviennent

    Si besoin, je te donne quelques indications sur les autres démonstrations à faire.

    Pour la question 1, il reste à démontrer que ΘUn+10\fbox{\Theta-U_{n+1} \ge 0}

    Une idée possible pour cela,
    Θ2=1+Θ\Theta^2=1+\Theta
    Un+12=1+UnU_{n+1}^2=1+U_n
    En retranchant membre à membre
    Θ2Un+12=ΘUn\Theta^2-U_{n+1}^2=\Theta-U_n
    En factorisant
    (ΘUn+1)(Θ+Un+1)=(ΘUn)(\Theta-U_{n+1})(\Theta+U_{n+1})=(\Theta-U_n)

    Tu justifies que Θ\Theta et Un+1U_{n+1} sont positifs donc (Θ+Un+1)(\Theta+U_{n+1}) est positif
    Conséquence : (ΘUn+1)(\Theta-U_{n+1}) et (ΘUn)(\Theta-U_n) sont de même signe

    En étendant le procédé, tu peux déduire
    (ΘUn+1)(\Theta-U_{n+1}) a même signe que (ΘUn)(\Theta-U_n) qui a même signe que (ΘUn1)(\Theta-U_{n-1}), qui a même signe que ...,etc,,...,, qui a même signe que (ΘU0)(\Theta-U_0)
    Tu calcules (ΘU0)(\Theta-U_0), tu le trouves positif, donc (ΘUn+1)(\Theta-U_{n+1}) est positif.

    CQFD



  • Pour la question 2
    Il faut prouver par récurrence, que pour tout naturel n
    0ΘUn(12)n\fbox{0 \le \Theta-U_n \le (\frac{1}{2})^n}

    Initialisation pour n=0 c'est facile

    Hérédité ( ou Transmission -j'ignore le langage utilisé dans ton cours-)
    Tu supposes la formule vraie à un ordre n
    0ΘUn(12)n0 \le \Theta-U_n \le (\frac{1}{2})^n
    Il faut démontrer la formule à l'ordre (n+1) c'est à dire
    0ΘUn+1(12)n+10 \le \Theta-U_{n+1} \le (\frac{1}{2})^{n+1}

    L'inégalité 0ΘUn+10 \le \Theta-U_{n+1} a déjà été prouvée à la question 1, donc il n'y a rien à faire.

    Pour l'autre inégalité
    Tu sais (question 1) que ΘUn+112(ΘUn)\Theta-U_{n+1}\le \frac{1}{2}(\Theta -U_n)
    Avec l'hypothèse de la récurrence ΘUn(12)n\Theta-U_n \le (\frac{1}{2})^n
    En substituant
    ΘUn+112(12)n\Theta-U_{n+1}\le \frac{1}{2}(\frac{1}{2})^n
    En calculant 12(12)n\frac{1}{2}(\frac{1}{2})^n tu obtiens la réponse souhaitée

    Pour la question 3
    En utilisant la double inégalité qui vient d'être démontée à la question 2 et le Théorème des deux gendarmes, tu dois trouver la limite de la suite (Un)(U_n)

    Bon travail.


 

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